• Matéria: Matemática
  • Autor: Lobo47
  • Perguntado 9 anos atrás

Seja os vetores u=(3,2,-1) e v=(1,n,-2).
calcular o valor de n para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a 27 unidade de volume.

Respostas

respondido por: Anônimo
2
Boa noite Lobo!

Lobo! Para cacular o valor de n basta fazer um matriz do vetores U e V.
Solução

A área do paralelogramo é dada por

A=|\vec u\times&\vec v|

Queremos que

A=|\vec u\times&\vec v|=27

Fazendo a matriz dos vetores resulta.

 \vec u\times&\vec v=       \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&2&-1\\1&n&-2\end{array}\right|

        \left|\begin{array}{cc}2&-1&\\n&-2&\end{array}\right|\vec\i -  \left|\begin{array}{cc}3&-1&\\1&-2&\end{array}\right|\vec\j+   \left|\begin{array}{cc}3&2&\\1&n&\end{array}\right|\vec k

Multiplicando as matrizes resulta.

(-4+n)\vec\i-(-6+1)\vec\j+(3n-2)\vec  k

(-4+n)\vec\i+(6-1)\vec\j+(3n-2)\vec  k

(-4+n)\vec\i+(5)\vec\j+(3n-2)\vec  k=27

Elevando tudo ao quadrado fica.

 \sqrt{(-4+n) ^{2}+(5) ^{2}+(3n-2)^{2}   }=(27)^{2}

\sqrt{(16-8n+n ^{2} ) +(25) +(9n^{2} -12n)+4   }=(27)^{2}

(16-8n+n ^{2} ) +(25) +(9n^{2} -12n)+4   }=729

Organizando encontramos uma equação do segundo grau.

10n ^{2} -20n+45=729

10n ^{2} -20n+45-729=0

10n ^{2} -20n-684=0

As raízes da equação vai nos fornecer os valores de n.

Vou resolver por Bhaskara,muito embora tenha outras alternativas de resolução.

Vamos separar os coeficientes da equação.

a=10

b=-20

c=-684

Vamos substituir os coeficientes na formula de Bhaskara que é essa aqui.

n= \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}

n= \frac{-(-20)\pm \sqrt{(-20)^{2}-4.10.(-684) } }{2.10}

n= \frac{20\pm \sqrt{400+27360 } }{20}

n= \frac{20\pm  \sqrt{27760}  }{20}

n= \frac{20\pm 4\sqrt{1735} }{20}

Esses são os valores de n

Fica a criterio se vai passar para decimal.

n _{1}= \frac{5 +\sqrt{1735} }{5}

n _{1}= \frac{5 -\sqrt{1735} }{5}

Boa noite!

Bons estudos!

Lobo47: Boa Noite, João.. Obrigado...
Anônimo: Dê nada!
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