Question

Determine a equação do circulo cujo centro está sobre reta x - 2y = 6 e passa pelos pontos A(1, 4) e B(-2, 3)

Answer 1

Se a circunferência passa pelos pontos A e B, podemos afirmar que a distância do centro da circunferência a qualquer um destes pontos é a mesma.

Dac = Dbc

Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos e considerando Centro (x,y), substituímos ambos Dac e Dbc.

(ΔX)² + (ΔY)² = (Δx)² + (Δy)²

(1-x)² + (4-y)² = (-2-x)² + (3-y)²

Resolvido, encontramos:

x = y + 4

Sabemos duas relações entre x e y, a primeira foi nos dada no enunciado, onde afirma que o centro pertence à x - 2y = 6, logo temos um sistema

| x - 2y = 6

| x = y + 4

Novamente resolvido, temos x = 2 e y = -2, ou seja, nosso centro é C(2,-2)

Agora, precisamos do raio. Basta aplicar novamente a fórmula da distância entre dois pontos, já que sabemos agora o centro da circunferência. Ambos servem, vamos utilizar Dac

Dac = sqrt[(Δx)² + (Δy)²]

Dac = sqrt[(1 - 2)² + (4 + 2)²]

Dac = sqrt(37)

Agora que sabemos que o raio equivale à raíz quadrada de 37, podemos finalmente determinar a equação da circunferência.

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0, para uma circunferência de centro C(a,b) e raio R

x² + y² - 4x + 4y + 4 + 4 - 37 = 0

x² + y² - 4x + 4y - 29 = 0

Caso a resposta esteja errada, ou não tenha compreendido, avise que tentarei arrumar/ajudar. Abraço!