Question

Questão de Probabilidade
Um número inteiro positivo n ≤ 100 é escolhido aleatoriamente. Considere que se n ≤ 50, a probabilidade de se escolher n seja igual a p e que se n > 50, a probabilidade de se escolher n seja igual a 3p. Nessas condições, calcule a probabilidade de se escolher um número n que seja um quadrado perfeito.

Answer 1

Resposta:

$\dfrac{11}{75p}$

Explicação passo-a-passo:

Queremos a probabilidade de se escollher n, tal que ele seja um quadrado perfeito, os quadrados perfeitos até 100 são:

$1^2=1 |6^2=26\\2^2=4|7^2=49\\3^2=9|8^2=64\\4^2=16|9^2=81\\5^2=25|10^2=100$

Mas vemos que dependendo do valor n, a probabilidade pode diferir.

Vamos calcular a probabilidade condicional: Chamemos os eventos:

A-n é quadrado perfeito

B-n≤50

C-n>50

Vamos calcular primeiro:

$P(A|B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

P(A∩B)=Probabilidade de ser menor ou igual a 50 e ser quadrado perfeito. Vemos que temos 6 quadrados perfeitos menor ou iguais a 50, logo:

$P(A \cap B)=\dfrac{6}{50}=\dfrac{3}{25}$

P(B)=p, logo:

$P(A|B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{\frac{3}{25}}{p}=\dfrac{3}{25p}$

Agora vamos calcular:

$P(A|C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}$

P(A∩C)=Probabilidade de ser maior que 50 e ser quadrado perfeito. Vemos que temos 4 quadrados perfeitos maiores que 50, logo:

$P(A \cap C)=\dfrac{4}{50}=\dfrac{2}{25}$

P(C)=3p ,logo:

$P(A|C)=\dfrac{\frac{2}{25}}{3p}=\dfrac{2}{75p}$

Como queremos na união,P( (A|C)U(A|B) ), vamos somar:

$P(A|C)+P(A|B)=\dfrac{2}{75p}+\dfrac{3}{25p}=\dfrac{11}{75p}$