Question

Medidas de Arco de Circunferência: Em uma pista de atletismo, com apenas dois corredores, o atleta na pista 1 sai do ponto A, e o atleta na pista 2 sai do ponto B, simultaneamente. Os atletas terão que permanecer na pista em que largaram, até atravessarem a linha de chegada. Sabendo-se que as curvas são semicircunferências
concêntricas e que nas retas as pistas 1 e 2 são paralelas, determine a distância d para que
os corredores percorram a mesma distância.

Answer 1

Resposta:

A distância procurada vale $\pi$

Explicação passo-a-passo:

De início, o único dado que temos, é que a distância entre as duas faixas é de $1m$. Vamos fazer todos os cálculos de forma genérica, usando $r$ para raio, $d$ para a distância que queremos encontrar, e $D$ para simbolizar a distância do início da corrida, até o início da circunferência.

A princípio, esta imagem pode ser dividida em 3, a reta de início, a curva, e a reta final.

Como os dois vão percorrer a mesma quantidade da reta final, não precisamos fazer cálculo com ela.

Vamos agora descobrir quanto mede cada circunferência, sendo $c$ e $C$, a maior e a menor, respectivamente.

$c=\dfrac{2\cdot\pi\cdot r}{2}=\pi\cdot r \ m$

$C=\dfrac{2\cdot\pi\cdot (r + 1)}{2}=\pi\cdot (r+1)m$

Sendo $m$ a medida metros.

Vamos chamar a medida de B, até o final da circunferência de $D_B$, e de $D_A$ a medida de A até o final da circunferência.

Como $D_A = D_B$, temos o seguinte:

$D-d+ \pi\cdot(r+1)=D+\pi\cdot r\\D-D-d+\pi\cdot r + \pi=D-D+\pi\cdot r\\-d+\pi\cdot r-\pi\cdot r + \pi=\pi\cdot r-\pi\cdot r\\-d+\pi=0\\d=\pi$

Ou seja, a distância procurada vale $\pi$

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