Question

Considere um prisma retangular cujas medidas, em centímetros, do comprimento, da largura e da altura são x = 15, y = 20 e z = 25, respectivamente. Suponha que o comprimento desse prisma esteja aumentando, a uma taxa de variação de 0,2 cm/s; a largura esteja aumentando, a uma taxa de variação de 0,3 cm/s; e sua altura esteja diminuindo, a uma taxa de variação de 0,5 cm/s. Nessas condições, determine a taxa de variação do volume desse prisma, sabendo que o volume de um prisma retangular é dado pela relação V = x*y*z.

Answer 1

Taxas relacionadas

Dados:

$x=15cm\\y=20cm\\z=25cm$

$\dfrac{dx}{dt}=0,2cm/s\\\dfrac{dy}{dt}=0,3cm/s\\\dfrac{dz}{dt}=-0,5cm/s$

Solução

$\mathsf{v=x.y.z}\\\mathsf{v=(xy)z}$

Vamos derivar tudo em relação a t.

$\mathsf{\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d(xy)}{dt}.z+(xy).\dfrac{dz}{dt}}$

cálculos auxiliares:

$\mathsf{\dfrac{d(xy)}{dt}=\dfrac{dx}{dt}.y+x.\dfrac{dy}{dt}}$

Substituindo na expressão anterior temos:

$\mathsf{\dfrac{dv}{dt}=[\dfrac{dx}{dt}.y+x.\dfrac{dy}{dt}]z+(xy).\dfrac{dz}{dt}}$

Vamos substituir os dados e finalizar o problema.

$\mathsf{\dfrac{dv}{dt}=[0,2.20+15.0,3]. 25+15.20.(-0,5)}$

$\mathsf{\dfrac{dv}{dt}=212,5-150}$

$\huge\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dv}{dt}=62,5{cm}^{3}/s}}}$