Question

Alguém sabe a resposta por partes?

Answer 1

Resposta:

$\frac{\pi}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Tentei fazer a integral por parte mas acaba ficando um loop grande. A proposta abaixo é fazer por substituição. Espero que possa te ajudar:

Escreva

$cos^2(x)=\frac{1}{2} cos(2x)+\frac{1}{2}$

então:

$\int\limits^{\pi /2}_{-\pi/2} {cos^2(x)} \, dx =\int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2}({\frac{1}{2} cos(2x)+\frac{1}{2}) dx=\\\\\\\frac{1}{4} \int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2}{cos(2x)dx+\frac{1}{2}\int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2} {1} \, dx$

Para o integrando cos(2x), faça

u = 2x

du = 2 dx => du/2 = dx

Os novos limites de integração ficam:

u = π

u = -π

Então:

$\frac{1}{4} \int\limits^{\pi}_{-\pi} {cos(u)} \, du+\frac{1}{2} \int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2} {1} \, dx$

A integral de cos(u) é sen(u) e a integral de 1 dx é x. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos:

$\frac{sen(\pi )}{4}-\frac{sen(-\pi)}{4}+\frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{2})=\\ \\0-0+\frac{1}{2}(\pi ) = \frac{\pi}{2}$