Uma banda deseja produzir panfletos para divulgar seu próximo show. A gráfica oferece uma folha de 10 cm x 6 cm, mas exige que a arte seja feita dentro de uma margem de impressão que será cortada. O valor retirado dos lados maiores pode ou não ser igual ao valor retirado dos lados menores. Sabe-se que a gráfica cobra 0,50 centavos por cm2 impresso de arte e que o perímetro total dela, ao fim, deve ser 28 cm.
Qual o valor pago pela maior área impressa possível de panfleto?
A
R$ 20,00
B
R$ 24,50
C
R$ 30,00
D
R$ 32,00
E
R$ 49,00
Respostas
Sabemos que a arte será uma figura retangular de perímetro 28. Suponha que a largura desse retângulo seja x e a altura y. O perímetro usando essas medidas é:
2x + 2y = 28
2(x + y) = 28
x + y = 14
Precisamos calcular a área máxima desse retângulo sabendo que a soma de suas medidas é igual a 14. Primeiro, vamos escrever a variável y em função de x.
y = 14 - x
A área do panfleto é dada por x.y, sabendo que y = 14 - x, temos:
A = x(14 - x)
A = - x² + 14x.
Como a largura da folha é 6 cm, temos que o domínio da função, ou seja, todas as larguras que o panfleto pode ter variam entre 0 e 6, logo:
D = {x ∈R / 0 < x < 6}
Como a largura máxima é 6, a maior área se da quando x = 6, logo:
A = - 6² + 14.6
A = 48 cm²
Com o metro custando 0,50 centavos, o valor pago será:
48 x 0,4 = 24 reais.
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Resposta:
x: valor retirado lados maiores
y: valor retirado lados menores
2*[(10-x)+ (6-y)] = 28
16-x-y=14
x+y=2
x+y=2
x=2-y
A=(10-x)*(6-y) =60-10y-6x+xy
A(y)=60-10y-6*(2-y)+(2-y)*y
A(y)=48 - 2y - y² ==>a=-1 , b=-2 e c=48
...é uma parábola com ponto de máximo , queremos vy
Vértice=(vx,vy)
vx=-b/2a
vy=-Δ/4a= -[4+192]/(-4) =196/4 =49 m²