Question

(EsPCEx 2013) Sendo z o número complexo obtido na
rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo
1 + i, determine z³:
a) 1 - i
b) -1 + i
c) -2i
d) -1 - 2i
e) 2 + 2i

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá.

Sabemos que a representação geométrico de um número complexo z =✓|z|.cis(O) é uma circunferência de raio |Z| cujo vetor faz um ângulo O com o eixo das abcissas (x>0).

90° é o mesmo que π/2 Rad

Se pensarmos no cis(π/2), sabemos que ele pode ser escrito como:

cis(π/2) = cos(π/2) + i.sin(π/2)

cis(π/2) = 0 + i.1

cis(π/2) = i

Ou seja, multiplicar um complexo por " i " é o mesmo que rotacioná-lo 90° no plano de Argand-Gauss.

Como z é dado pela rotação de 1 + i em 90 graus, temos que:

Z = (1+i).i

Z = i + i²

Z = i - 1

Z = -1 + i

O enunciado deseja o valor de Z³.

Elevando ambos lados ao quadrado

Z² = (-1 + i)²

Z² = -2i

Temos:

Z = -1+i

Z² = -2i

Multiplicando as equações:

Z² . Z = (-2i)(-1+i)

Z³ = 2i - 2i²

Z³ = 2i - 2.(-1)

Z³ = 2i + 2

Z³ = 2(1 + i)

Z³ = 2 + 2i

Alt E