Question

Obtenha a seguintes frações geratrizes das dízimas periódica( explicação )

* 0,352121...
* 0,35444...
*2,5424242...

Answer 1

Resposta:

$\frac{581}{1650}$  $\frac{319}{900}$  $\frac{2517}{990}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite!

Primeiramente nós escrevemos a dízima periódica numa equação para facilitar, não entre em pânico por favor, vamos lá fazer a primeira:

$0,352121...\\x=0,352121...$  Após isso nós vamos indo igualando as casas depois da vírgula aos poucos multiplicando o x por 10 a cada mudança de casa para a direita, como nós vamos mudar a vírgula para depois de duas casas será 10*10 que dá 100, então colocamos este valor no x, siga o processo:

$x=0,352121...\\100x=35,2121...\\10000x=3521,2121...$  O valor final de x ficou 10000, pois nós mudamos para mais duas casas a frente sendo novamente mais uma vez 10*10 que dá 100 e como já tinha 100 lá no x anteriormente, por causa da mudança de casa antes dessa, nós somente multiplicamos 100*100 que dá 10000, ficando 10000x.

Agora pegamos isso e jogamos no sistema para resolvermos as equações e chegar no resultado que é a fração geratriz:

$\left \{ {{100x=35,2121...} \atop {10000x=3521,2121...}} \right.$   Agora nós usamos o método da subtração, que consiste em multiplicar qualquer equação por -1 e subtraí-la da outra, para ficar muito mais fácil, multiplicamos a equação menor e subtraímos ele do maior, assim:

$\left \{ {{-100x=-35,2121...} (-1)\atop {10000x=3521,2121...}} \right.$  Basta subtraí-las agora:

$\left \{ {{-100x=-35,21,21...} \atop {10000x=3521,2121...}} \right.\\\ \aleft {9900x=3486}.\\ {{x=\frac{3486}{9900} }$ Passamos o 9900 que é o resultado da subtração dos x dividindo e simplificamos, que irá ficar $\frac{581}{1650}$.

Agora basta você fazer isso para todos (agora que já expliquei como fazer essa, use de base essa para concluir seu raciocínio e resolver as outras, pois as outras eu não irei explicar tão detalhadamente quanto essa), vamos para a segunda:

Colocamos na equação:

$x=0,35444...$

Agora igualamos as casas depois da vírgula:

$x=0,35444...\\100x=35,444...\\1000x=354,444...$

Pegamos as duas equações e jogamos no sistema:

$\left \{ {{100x=35,444...} \atop {1000x=354,444...}} \right.$

Agora subtraímos a menor da maior:

$\left \{ {{-100x=-35,444...} \atop {1000x=354,444...}} \right.\\900x=319$

Passamos o 900 dividindo para descobrir o valor de 1x ou x somente:

$900x=319\\\\x=\frac{319}{900}$

Como ela já esta na forma irredutível não precisamos de simplificar, concluindo que o resultado é $\frac{319}{900}$ mesmo.

E por fim fazemos isso com a terceira que é um pouquinho mais complicada:

Colocamos ela na equação:

$x=2,5424242...$

Igualamos as casas depois da vírgula:

$x=2,5424242...\\10x=25,424242...\\1000x=2542,424242...$

Jogamos ela no sistema:

$\left \{ {{10x=25,424242...} \atop {100x=2542,424242...}} \right.$

Subtraímos a menor da maior:

$\left \{ {{-10x=-25,424242...} (-1)\atop {100x=2542,424242...}} \right.\\990x=2517$

Passamos o 990 dividindo para sabermos o valor de um x:

$990x=2517\\x=\frac{2517}{990}$

Como ela não se apresenta em sua forma irredutível, nós a simplificamos:

$x=\frac{2517}{990}\\ \\x=\frac{839}{330}$

Pronto! Resolvemos todas as questões requisitadas, espero ter ajudado e que tenha uma boa noite além de bons estudos ;), tchauu!!