Question

1 - Calcule o valor de:
Imagem sem legenda
a) 2
b) 4
c) 12
d) 6
2 - Quantos são os anagramas da palavra PRÊMIOS?
a) 5.040
b) 5.020
c) 5.060
d) 5.010

Answer 1

Resposta:

1- B

2- A

Explicação passo-a-passo:

Fiz no classroom

Answer 2

Utilizando definição precisa de permutações e analise combinatória, temos que a palavra PRÊMIOS tem 5040 anagramas, letra a).

Explicação passo-a-passo:

Como a primeira questão está sem imagem vou focar somente na segunda.

Anagramas são uma caso classíco de problemas de permutações em analise combinatória, em todos eles geralmente temos uma quantidade de objetos, que chamamos de 'N', e varios objetos que são repetidos que não queremos contar em nosso embaralhamento, então temos a quantidade de repetições de cada objeto também, denominados 'R1', 'R2', 'R3' e etc...

Nestes caso o calculo de todas as possíveis permutações, ou embaralhamentos destes objetos é calculada por:

$P=\frac{N!}{\Pi_i R_i!}$

Onde o símbolo π representa a multiplicação de todos os valores de repetições desta permutação.

Um exemplo para tornar isto mais palpavel é "embaralharmos" a palavra MATEMATICA por exemplo, note que esta palavra tem 10 letras, ou seja, 10 objetos a serem espalhados, mas as letras M e T repetem 2 vezes e a letra A repete 3 vezes, assim temos as repetições 2, 2 e 3. Colocando este calculo em pratica ficamos com:

$P=\frac{N!}{\Pi_i R_i!}=\frac{10!}{2!2!3!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3!}{2.2.3!}$

Podemos cortar o 3! em cima e em baixo e o 2! é igual a 2 mesmo, assim basta fazermos esta conta:

$P=\frac{10.9.8.7.6.5.4.3!}{2.2.3!}=\frac{10.9.8.7.6.5.4}{4}=10.9.8.7.6.5 = 151200$

Assim esta palavra tem 151 200 anagramas.

Com isso em mente podemos ir a nossa própria questão, embaralhar a palavra PRÊMIOS, que possui 7 letras e nenhuma repetição, o que fica muito mais simples de resolver:

$P=7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040$

Assim temos que a palavra PRÊMIOS tem 5040 anagramas, letra a).

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