Question

Calcule o resultados das derivadas a seguir:

Answer 1

Para resolver essas derivadas, vamos usar a regra da cadeia, a derivada do monômio, a derivada do seno, e a regra do quociente.

$\begin{cases} \sf \sf (an^{x})' = n.a.x^{n-1} \rightarrow \sf derivada \: do \: mon \hat{o}mio \\ \\ \sf Seja \: \: \sf y = f (u) \: \: e \: \: u = g(x) , \sf ent \tilde{a}o : \\ \sf y =f' (u). u ' \\ \\ \sf[ sen(x)]' = cos(x) \\ \\ \sf\left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{f'.g-f.g'}{g^{2}} \end{cases}$

Item a):

• Neste item usaremos a regra da cadeia a derivada do monômio, a regra da cadeia dá-se pelo motivo de que temos uma função composta.

$\sf f(x) = (x {}^{2} + 1) {}^{3} \\ \\ \sf f(x)' = 3.(x {}^{2} + 1) {}^{2} .(2x) \\ \\ \boxed{\sf f(x)' = 6x.(x {}^{2} + 1) {}^{2} }$

Item b):

• Nessa devemos lembrar da derivada das funções trigonométricas, mais precisamente a função seno, não precisa se preocupar em relação a derivada do seno, listei no começo da questão a função correspondente e também é de praxe saber que vamos usar a derivada do monômio.

$\sf f(x) = sen(x {}^{2} ) \\ \\ \sf f(x)' =cos(x {}^{2} ).(2x) \\ \\ \boxed{\sf f(x)' = 2x.cos(x {}^{2} )}$

Item c):

• Essa é basicamente a aplicação da regra do quociente e derivada do monômio como já é de se esperar.

$\sf f(x) = \frac{x - 2}{x + 3} \\ \\ \sf f(x) = \sf\left( \sf\begin{array}{} \frac{f}{g}\end{array}\right)' \\ \\ \left(\begin{array}{} \sf\frac{f}{g }\end{array}\right)' = \sf\frac{f'.g-f.g'}{g^{2}} \\ \\ \sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{(x - 2)'.(x + 3) - (x - 2).(x + 3)' \: }{(x + 3) {}^{2} } \\ \\ \sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{1.(x + 3) - (x - 2).1}{(x + 3) {}^{2} } \\ \\ \sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{x + 3 - x + 2}{(x + 3) {}^{2} } \\ \\ \boxed{ \sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{5}{(x + 3) {}^{2} } }$

Item d):

• Do mesmíssimo jeito do item anterior, só que dessa vez o cálculo será mais extenso.

$\sf f(x ) = \frac{2x {}^{4} - 3}{x {}^{2} - 5x + 3} \\ \\ \sf f(x) = \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' \\ \\ \sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right) = \frac{f'.g-f.g'}{g^{2}} \\ \\ \sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{(2x {}^{4} - 3)'.(x {}^{2} - 5x + 3) - (2x {}^{4} - 3).(x {}^{2} - 5x + 3)' }{ \sf (x {}^{2} - 5x + 3) {}^{2} } \\ \\ \sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{(4.2x {}^{3} ).(x {}^{2} - 5x + 3) - (2x {}^{4} - 3).(2x - 5)}{ \sf (x {}^{2} - 5x + 3) {}^{2} } \\ \\ \boxed{\sf \left(\begin{array}{}\frac{f}{g}\end{array}\right)' = \frac{8x {}^{3} .(x {}^{2} - 5x + 3) - 2.(x {}^{4} - 3).(2x - 5)}{(x {}^{2} - 5x + 3) {}^{2} }}$

• Eu parei ali, mas se você quiser continuar o cálculo, também está correto. Tendo montado a derivada já está ótimo.

Item e):

• Essa é a derivada mais "básica" entre essas 5, na sua resolução usaremos a regra da cadeia e derivada do monômio.

$\sf f(x) = 5 \sqrt{x {}^{2} + 3 } \\ \\ \sf f(x)' = 5.(x {}^{2} + 3) {}^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \sf f(x)' = 5. \frac{1}{2}. (x {}^{2} + 3) {}^{ \frac{1}{2} - 1 } .(2x) \\ \\ \sf f(x)' = \frac{5}{2} .(x {}^{2} + 3) {}^{ \frac{ - 1}{2} } .(2x) \\ \\ \sf f(x)' = \frac{5}{2} . \frac{1}{(x {}^{2} + 3) {}^{ \frac{1}{2} } } .(2x) \\ \\ \sf f(x)' = \frac{5. \cancel{2}x}{ \cancel{2}.(x {}^{2} + 3) {}^{ \frac{1}{2} } } \\ \\ \boxed{\sf f(x)' = \frac{5x}{( {x}^{2} + 3) {}^{ \frac{1}{2} } } }$

Espero ter ajudado