Question

dada a equação do plano 3x – 2y +7z = 1, determine as equações paramétricas da reta ortogonal a esse plano que passa pelo ponto p(–1, 5, 0).

Answer 1

Resposta:

As equações paramétricas da reta são

x = -1 + 3*t

y = 5 + -2*t

z = 0 + 7*t

Espero ter ajudado

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que as equações paramétricas procurada da reta ortogonal ao referido plano é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \Large\begin{cases} x = -1 + \lambda3\\y = 5 - \lambda2\\z = \lambda7\end{cases}\end{gathered}$

Sejam os dados:

                $\Large\begin{cases} P(-1, 5, 0)\\\pi: 3x - 2y + 7z = 1\end{cases}$

Se estamos procurando as equações paramétricas da reta "r" ortogonal ao plano π que passa pelo ponto P, então o vetor diretor da reta "r" é igual ao vetor normal do plano π.

Para resolver esta questão, devemos:

• Recuperar o vetor normal do plano π.

        Sabendo que a equação geral do plano no espaço tridimensional é dada por:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} Ax + By + Cz + D = 0\end{gathered}$  

         Desta forma, o vetor normal "n" do plano é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (A, B, C)\end{gathered}$  

         Então, o vetor normal do plano é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = (3, -2, 7)\end{gathered}$    

• Determinar o vetor diretor da reta "r".

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:r\perp \pi\Longrightarrow \vec{n} = \vec{d}\end{gathered}$  

        Então:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{d} = (3, -2, 7)\end{gathered}$

• Montar as equações paramétricas da reta "r". Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} r: \Large\begin{cases} x = x_{P} + \lambda x_{\vec{d}}\\y = y_{P} + \lambda y_{\vec{d}}\\z = z_{P} + \lambda z_{\vec{d}}\end{cases}\end{gathered} }$

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" quanto as componentes do vetor "n" na equação "I", temos:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \Large\begin{cases} x = -1 + \lambda3\\y = 5 - \lambda2\\z = 0 + \lambda7\end{cases}\end{gathered}$

Portanto, as equação paramétricas são:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: \Large\begin{cases} x = -1 + \lambda3\\y = 5 - \lambda2\\z = \lambda7\end{cases}\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$