Question

lim x-->∞ $\frac{2x^{4+3x^{2}+2x+1 } }{4-x^{4} }$ é:

Answer 1

Vou supor que você escreveu maior parte da expressão no expoente.

Temos o seguinte limite:

$\boxed{\sf \lim _{ x \rightarrow \infty}\frac{2x^{4}+3x^{2}+2x+1 }{4-x^{4} }}$

A primeira coisa que devemos fazer é substituir o valor a qual o "x" tende no local de "x", só para observar se há ou não indeterminação.

$\sf \frac{2x {}^{4} + 3x {}^{2} + 2x + 1 }{4 - x {}^{4} } = \frac{2.( \infty ) {}^{4} + 3.( \infty ) {}^{2} + 2.( \infty ) + 1}{4 - ( \infty ) {}^{4} } = \\ \\ = \frac{ \infty + \infty + \infty + 1}{4 - \infty } = \frac{ \infty }{ - \infty }$

De fato, surgiu uma Indeterminação do tipo ∞/-∞, ou seja, não temos como determinar um valor.

• Para que possamos encontrar um valor absoluto e driblar essa indeterminação, vamos usar uma artimanha que é dividir todos os termos pelo termo de maior grau.

$\sf \frac{2x {}^{4} + 3x {}^{2} + 2x + 1 }{4 - x {}^{4} } = \frac{ \frac{2x {}^{4} }{x {}^{4} } + \frac{3x {}^{2} }{x {}^{4} } + \frac{2x}{x {}^{4}} + \frac{1}{x {}^{4} } }{ \frac{4}{x {}^{4} } - \frac{x {}^{4} }{x {}^{4} } } = \\ \\ = \frac{\sf 2 + \frac{3}{x {}^{2} } + \frac{2}{x {}^{3} } + \frac{1}{x {}^{4} } } { \sf \frac{4}{x {}^{4} } - 1 }$

Agora você deve lembrar do Teorema que tem dentro de limites no infinito, tal teorema diz que quando temos uma fração de um número sobre uma potência de "x" e essa potência é um número inteiro positivo, o limite dessa expressão é "0".

Substituindo essa informação:

$\sf \frac{2 + \cancel{ \frac{3}{x {}^{2} }} + \cancel{ \frac{2}{x {}^{3} }} + \cancel{\frac{1}{x {}^{4} }} }{ \cancel{ \frac{4}{x {}^{4} }} - 1 } = \frac{2}{ - 1} = \boxed{- 2}$

Portanto temos que:

$\boxed{\sf \lim _{ x \rightarrow \infty}\frac{2x^{4}+3x^{2}+2x+1 }{4-x^{4} } = - 2}$

Espero ter ajudado