Question

Calcule o valor do limite abaixo. ( outro método que não seja L'Hopital)

lim ..... [cos(3x) -1 ] / 5x
x→0

​

Answer 1

Limite trigonométrico fundamental

$\boxed{\displaystyle\mathsf{\lim_{u \to 0}\dfrac{1-cos(u)}{u}=0}}$

$\dotfill$

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{cos(3x)-1}{5x}}$

Primeiramente perceba que

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{cos(3x)-1}{5x}=\lim_{x \to 0}-\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1-cos(3x)}{x}}$

Pela propriedade dos limites, podemos escrever a constante para fora. Assim temos:$\displaystyle\mathsf{-\dfrac{1}{5}\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos(3x)}{x}}$

Muito bem, vamos agora multiplicar e dividir a expressão por 3. Veja:

$\displaystyle\mathsf{-\dfrac{1}{5}\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos(3x)}{x}\cdot\dfrac{3}{3}}$

novamente pela propriedade dos limites, podemos escrever o 3 fora do limite, acompanhe:$\displaystyle\mathsf{-\dfrac{1}{5}\cdot3\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos(3x)}{3x}}$

Faça

$\mathsf{u=3x}\\\mathsf{u\to~0~quando~x\to~0}$

Portanto

$\displaystyle\mathsf{-\dfrac{1}{5}\cdot3\cdot\lim_{x \to 0}\dfrac{1-cos(3x)}{3x}} =\displaystyle\mathsf{-\dfrac{3}{5}\cdot\lim_{u \to 0}\dfrac{1-cos(u)}{u}} \\\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{=-\dfrac{3}{5}\cdot0=0\checkmark}}}}$