Question

$(x ^{2} - 2x)dx$
qual a integral de -1 a2 da função ​

Answer 1

Temos a seguinte integral definida:

$\sf \int_{ - 1}^{2} (x {}^{2} - 2x)dx$

Primeiro vamos aplicar a propriedade que diz que integral da soma ou subtração de várias funções é igual a soma ou subtração das integrais de cada uma das funções envolvidas:

$\boxed{\sf \int [f(x) + g(x) ]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx}$

Aplicando a propriedade:

$\sf \int_{ - 1}^{2} {x}^{2} dx - \int_{ - 1}^{2} 2xdx$

Vamos retirar o número 2 de dentro da integral, já que constantes podem transitar livremente para dentro e fora da integral:

$\boxed{\sf \int k.f(x)dx =k \int f(x)dx}$

Executando essa mesma regra:

$\sf \int_{ - 1}^{2} x {}^{2} dx - 2\int_{ - 1}^{2} x \: dx$

Para finalizar a integração, devemos aplicar mais uma propriedade, chamada de regra das potências das integrais:

$\boxed{\sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Adotando a propriedade:

$\sf \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - 2. \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \longleftrightarrow \boxed{ \sf\frac{x {}^{3} }{3} - x {}^{2} \begin{array}{c|c} & \sf 2\\ \\& \sf - 1 \end{array} }$

Agora vamos para o passo final que é usar o Teorema fundamental do cálculo para substituir esses limites da integral, esse Teorema diz:

$\sf \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) \\ \\ \ast \sf F(b) - F(a) = \begin{array}{c|c} & \sf b\\ \\& \sf a \end{array} \: \: \:$

Finalizando:

$\sf \frac{2 {}^{3} }{3} - 2 {}^{2} - \left( \frac{( - 1) {}^{3} }{3} - ( - 1) {}^{2} \right) \\ \\ \sf \frac{8}{3} - 4 - \frac{ - 1}{3} + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{9}{3} - 4 + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 3 - 3 = \sf \boxed{ \sf 0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado