Question

Na figura abaixo, temos um triângulo inscrito. Se AB = 10, AC = 12 e AH = 4,
determine o raio da circunferência. (Dica: Trace AD = diâmetro da circunferência)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Sejam BH = x e CH = y

=> Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ABH:

$\sf x^2+4^2=10^2$

$\sf x^2+16=100$

$\sf x^2=100-16$

$\sf x^2=84$

$\sf x=\sqrt{84}$

$\sf x=2\sqrt{21}$

=> Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo ACH:

$\sf y^2+4^2=12^2$

$\sf y^2+16=144$

$\sf y^2=144-16$

$\sf y^2=128$

$\sf y=\sqrt{128}$

$\sf y=8\sqrt{2}$

Assim, lado BC mede $\sf 2\sqrt{21}+8\sqrt{2}$

A área do triângulo ABC é:

$\sf A=\dfrac{(2\sqrt{21}+8\sqrt{2})\cdot4}{2}$

$\sf A=\dfrac{8\sqrt{21}+32\sqrt{2}}{2}$

$\sf A=4\sqrt{21}+16\sqrt{2}$

A área de um triângulo de lados a, b, c e raio da circunferência circunscrita R é:

$\sf A=\dfrac{a\cdot b\cdot c}{4R}$

Logo:

$\sf \dfrac{(2\sqrt{21}+8\sqrt{2})\cdot10\cdot12}{4R}=4\sqrt{21}+16\sqrt{2}$

$\sf 4R=\dfrac{(2\sqrt{21}+8\sqrt{2})\cdot10\cdot12}{4\sqrt{21}+16\sqrt{2}}$

$\sf 4R=\dfrac{240\sqrt{21}+960\sqrt{2}}{4\sqrt{21}+16\sqrt{2}}$

$\sf 4R=\dfrac{240\cdot(\sqrt{21}+4\sqrt{2})}{4\cdot(\sqrt{21}+4\sqrt{2})}$

$\sf 4R=\dfrac{240}{4}$

$\sf 4R=60$

$\sf R=\dfrac{60}{4}$

$\sf \red{R=15}$