Question

Integral de x^3ln(x)dx

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{x^4}{16}+C,~C\in\mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos esta integral, utilizaremos a técnica de integração por partes.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int x^3\ln(x)\,dx$

Sabendo que a fórmula para integração por partes é dada por: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$, devemos encontrar as variáveis $u$ e $v$.

Como critério de escolha para $u$, temos a propriedade LIATE, em que dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonoméricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Dessa forma, escolhemos $u=\ln(x)$ e $dv=x^3\,dx$. Devemos diferenciar ambos os lados da expressão em $u$, para encontrarmos o diferencial $du$ e integrarmos a expressão em $v$. Assim, temos:

$u'=(\ln(x))'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow du=\dfrac{dx}{x}\\\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int x^3\,dx}\\\\\\\\ v=\dfrac{x^4}{4}$

Substituindo estes termos na fórmula, teremos:

$\displaystyle{\int x^3\ln(x)\,dx=\ln(x)\cdot \dfrac{x^4}{4}-\int \dfrac{x^4}{4}\cdot\dfrac{dx}{x}$

Multiplique os valores

$\displaystyle{\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\int \dfrac{x^3}{4}\,dx$

Aplique a propriedade da constante: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$

$\displaystyle{\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot\int x^3\,dx$

Calcule a integral da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$

$\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{x^4}{4}+C_1\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{x^4}{16}-\dfrac{C_1}{4}$

Considere $-\dfrac{C_1}{4}=C$

$\dfrac{x^4\ln(x)}{4}-\dfrac{x^4}{16}+C$

Este é o resultado desta integral.