Question

Escreva o número complexo −i na forma trigonometrica.

Answer 1

Forma trigonométrica de um número complexo:

$\boxed{\boxed{z=|z|\cdot(cos~\theta+i\cdot sen~\theta)}}$

Onde:

$|z|:m\'odulo~de~z~~~\therefore~~~|z|=\sqrt{(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}\\\\\theta:argumento~de~z=\^angulo~entre~\vec{z}~e~a~parte~positiva~do~eixo~x$
_______________________

$z=-i=0-i~~~~(Re(z)=0~~~Im(z)=-1)$

Achando o módulo de z:

$|z|=\sqrt{(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1}=1$

Achando o argumento de z:

$|tg~\theta|=\dfrac{Im(z)}{Re(z)}=-\dfrac{1}{0}~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{tg~\theta~n\~ao~existe}}$

Sabemos que, no primeiro quadrante, a tangente de (π / 2) e (3π / 2) não existem (pois o cosseno é zero)

No caso de θ = π / 2, sen θ = 1. Caso θ = 3π / 2, sen θ = -1

Portanto, vamos avaliar o seno do argumento:

$sen~\theta=\dfrac{Im(z)}{|z|}=-\dfrac{1}{1}=-1$

Portanto, θ = 3π / 2

Escrevendo z na forma trigonométrica:

$z=|z|\cdot(cos~\theta+i\cdot sen~\theta)\\\\\boxed{\boxed{z=1\cdot\left(cos\left[\frac{3\pi}{2}\right]+i\cdot sen\left[\frac{3\pi}{2}\right]\right)}}$

Answer 2

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módulo de um número complexo

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf Seja~z=a+bi~um~n\acute umero~complexo.\\\sf o~m\acute odulo~de~z~\acute e~dado~por:\\\Huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf \rho=\sqrt{a^2+b^2}}}}}\end{array}}$

Argumento de um número complexo

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf \acute e~o~\hat angulo~\theta~tal~que\\\boxed{\boxed{\sf cos(\theta)=\dfrac{a}{\rho}}}~e~\boxed{\boxed{\sf sen(\theta)=\dfrac{b}{\rho}}}\end{array}}$

Forma trigonométrica de  um número complexo

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf \acute e~a~representac_{\!\!,}\tilde ao~do~complexo~z=a+bi~\\\sf em~func_{\!\!,}\tilde ao~de~seu~m\acute odulo~e~de~seu~argumento.\\\sf a~forma~trigonom\acute etrica~de~z~\acute e:\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf z=\rho[cos(\theta)+i~sen(\theta)]}}}}\end{array}}$

$\sf z=-i\implies z=0-i\\\sf \rho=\sqrt{0^2+(-1)^2}\\\sf \rho=\sqrt{1}\\\sf \rho=1\\\sf sen(\theta)=\dfrac{-1}{1}=-1\implies \theta=\dfrac{3\pi}{2}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf z=1\bigg[cos\bigg (\dfrac{3\pi}{2}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{3\pi}{2}\bigg)\bigg]}}}}$