Question

Calcule o seguinte limite:

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo do limite

• Dado o limite :

$\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^3+3x^2-4x}{2-\sqrt{x^2+3}}$

• Para efectuar o calculo d'um limite devemos sempre substituir a variável pelo valor a qual ele tende , para assim vermos que indeterminação estamos perante se eque existe tal indeterminação.

$\iff ~= ~\dfrac{1^3+3*1^2-4*1}{2-\sqrt{1^2+3}}=\dfrac{4-4}{2-2}$

$\iff ~=~ \huge{ \dfrac{0}{0} ~\longleftarrow~Ind...}$

• Então tendo nos deparado com esta indeterminação vamos dar outros meios para fugirmos da mesmo , tendo um radical no denominador , podemos optar por racionalizar o denominador, multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado do denominador :

$\iff = \displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x(x^2+3x-4)\red{\Big(2+\sqrt{x^2+3}\Big)}}{\Big(2-\sqrt{x^2+3}\Big)\red{\Big(2+\sqrt{x^3+3}\Big)}}$

• Perceba que no denominador no fundo no fundo agora temos a diferença de dois quadrados:
• $\boxed{\sf{ (a-b)(a+b)~=~a^2-b^2} }$
• Então vamos ter :

$\iff ~=~ \displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x(x^2+3x-4)\Big(2+\sqrt{x^2+3}\Big)}{2^2-(x^2+3)}$

$\iff ~=~ \displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x(x^2-x+4x-4)\Big(2+\sqrt{x^2+3}\Big)}{4 - x^2 -3}$

$\iff ~=~ \displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x[x(x-1)+4(x-1)]\Big(2+\sqrt{x^2+3}\Big)}{1-x^2}$

$\iff ~=~ \displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x\cancel{(x-1)}(x+4)\Big(2+\sqrt{x^2+3}\Big)}{-\cancel{(x-1)}(x+1)}$

$\iff ~=~ \displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{-x(x+4)\Big(2+\sqrt{x^2+3}\Big)}{x+1}$

• Substituindo vamos ter :

$\iff \sf{= \dfrac{-1(1+4)\Big(2+\sqrt{1^2+3}\Big )}{1+1} }$

$\iff \sf{= \dfrac{-5*4}{2} }$

$\green{ \iff \boxed{\sf{ =-10 } \sf{ \longleftarrow Resposta } } }$ $~~~\checkmark$

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ESPERO TER AJUDADO BASTANTE !)

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