Question

QUAL A ALTERNATIVA CORRETA?

86c83449a85d50d5aadd0f4b220eda35.pdf

Answer 1

Se um polinômio P(x) com coeficientes reais admite uma raiz imaginária da forma z₁ = a + bi, então ele também admite raiz da forma z₂ = a - bi

Em outras palavras, se z é raiz complexa de P(x), onde P(x) é um polinômio de coeficientes reais, então o conjugado de z também é raiz de P(x)
________________________________

P(x) é um polinômio de grau 3, com raízes x = 1 e x = 1 - i

Como vimos acima, o conjugado de (1 - i) = 1 + i também será raiz

Logo, temos as três raízes de P, e sabemos que todo polinômio pode ser escrito em função de suas raízes:

$P(x)=(x-x')\cdot(x-x'')\cdot(x-x''')\\\\P(x)=(x-1)\cdot(x-[1-i])\cdot(x-[1+i])\\\\P(x)=(x-1)\cdot(x-1+i)\cdot(x-1-i)\\\\P(x)=(x-1)\cdot([x-1]+i)\cdot([x-1]-i)$

Temos um produto da soma pela diferença de 2 termos nos últimos parenteses

$(a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Então:

$P(x)=(x-1)\cdot([x-1]^{2}-i^{2})\\\\P(x)=(x-1)\cdot(x^{2}-2x+1-(-1))\\\\P(x)=(x-1)\cdot(x^{2}-2x+1+1)\\\\P(x)=(x-1)\cdot(x^{2}-2x+2)\\\\P(x)=x^{3}-2x^{2}+2x-x^{2}+2x-2\\\\\boxed{\boxed{P(x)=x^{3}-3x^{2}+4x-2}}$