(IME 2014) Em uma festa de aniversário estão presentes n famílias com pai, mãe e 2 filhos, além de 2 famílias com pai, mãe e 1 filho. Organiza-se uma brincadeira que envolve esforço físico, na qual uma equipe azul enfrentará uma equipe amarela. Para equilibrar a disputa, uma das equipes terá apenas o pai de uma das famílias, enquanto a outra equipe terá duas pessoas de uma mesma família, não podendo incluir o pai. É permitido que o pai enfrente 2 pessoas de sua própria família. PAra que se tenha exatamente 2014 formas distintas de se organizar a brincadeira, o valor de n deverá ser:
a) 17.
b) 18.
c) 19.
d) 20.
e) 21.
Respostas
Primeira coisa: a questão fala que uma das equipes obrigatoriamente terá que ter o pai de uma família, e a outra equipe terá que ter 2 integrantes da mesma familia desse pai. Se analisarmos:
n famílias 2 famílias
1 pai 1 pai
1 mãe 1 mãe
2 filhos 1 filho
Das n famílias, podemos escolher um pai de cada família, que, por acaso, tem n pais no total (já que há 1 só pai para cada família).
Das 2 famílias, temos 1 pai em cada família, então o total de pais é 2.
Então, o total de pais nessa festa é n + 2
Agora, vamos observar o restante dos membros da familia:
Das n famílias, temos a mãe e 2 filhos. Dessas 3 pessoas, só podemos escolher 2, daí, para saber quantas são as possibilidades, fazemos uma combinação:
C (3,2) = 3!/2!(3 - 2)!
C (3,2) = 3.2!/2!
C (3,2) = 3 possibilidades
Como há n famílias, então temos 3n jeitos de se escolher os outros membros.
Nas 2 famílias só temos 1 possibilidade: a mãe e o filho em cada família, tendo, no total, 2 possibilidades.
Assim, o total de outros membros da família que poderão participar da brincadeira é 3n + 2
Agora, pelo princípio da contagem:
(n + 2).(3n + 2).2 = 2014
Mas porque esse 2 no final? Simples: o pai pode tanto ficar na equipe azul quanto na equipe amarela. Entendeu? Continuando:
(n + 2).(3n + 2).2 = 2014
(3n² + 2n + 6n + 4).2 = 2014
3n² + 8n + 4 = 2014/2
3n² + 8n + 4 = 1007
3n² + 8n + 4 - 1007 = 0
3n² + 8n - 1003 = 0
delta = 8² - 4.3.(-1003)
delta = 64 + 12036
deta = 12100
Como queremos saber o valor de n e n é um valor positivo (é o número de famílias de 1 pai, 1 mãe e 2 filhos) então:
n = (-8 + 110)/2.3
n = 102/6
n = 17
Alternativa A
Espero ter ajudado
Resposta:
Primeira coisa: a questão fala que uma das equipes obrigatoriamente terá que ter o pai de uma família, e a outra equipe terá que ter 2 integrantes da mesma familia desse pai. Se analisarmos:
n famílias 1 pai
1 mäe 2 filhos
2 famílias
1 pai
1 mäe 1 filho
Das n famílias, podemos escolher um pai de cada família, que, por acaso, tem n pais no total (já que há 1 só pai para cada família). Das 2 famílias, temos 1 pai em cada família, então o total de pais é 2.
Então, o total de pais nessa festa é n + 2
Agora, vamos observar o restante dos
membros da familia:
Das n famílias, temos a mãe e 2 filhos. Dessas 3 pessoas, só podemos escolher 2, daí, para saber quantas são as possibilidades, fazemos uma combinação:
C (3,2)= 3!/21(3-2)!
C (3,2) = 3.2!/2!
C (3,2)= 3 possibilidades
Como há n famílias, então temos 3n jeitos de
se escolher os outros membros.
Nas 2 famílias só temos 1 possibilidade: a mãe e o filho em cada família, tendo, no total, 2
possibilidades.
Assim, o total de outros membros da família que poderão participar da brincadeira é 3n+2
Agora, pelo princípio da contagem: (n + 2).(3n+2).2 = 2014
Mas porque esse 2 no final? Simples: o pai pode tanto ficar na equipe azul quanto na
equipe amarela. Entendeu? Continuando: (n + 2).(3n+2).2 = 2014
(3n² + 2n + 6n + 4).2 = 2014
3n² + 8n + 4 = 2014/2
3n² + 8n + 4 = 1007
3n²+ 8n +4 -1007 = 0
3n² + 8n - 1003 = 0
delta = 8² - 4.3.(-1003) delta = 64 + 12036 deta = 12100
Como queremos saber o valor de ne n é um valor positivo (é o número de famílias de 1 pai, 1 mãe e 2 filhos) então:
n = (-8 +110)/2.3
n = 102/6 n = 17
Alternativa A