Question

02) (M11002417) Carlos, Fernando e Roberto participaram de uma gincana na escola em que estudam. Essa
gincana era composta de três etapas com cinco tarefas cada, sendo que, dentro de cada etapa, as tarefas
completas valiam uma mesma pontuação. Na primeira etapa, Carlos completou 1 tarefa, na segunda
etapa 2 tarefas e, na terceira, também 2 tarefas. Seguindo essa mesma ordem de etapas, Fernando
completou 2, 1 e 4 tarefas, e Roberto
completou 1, 2 e 1 tarefas. Ao final da gincana, Carlos marcou, ao
todo, 17 pontos, Fernando 19 e Roberto 15 pontos. Lucas também participou dessa gincana e completou
Qual foi a pontuação obtida por Lucas nessa gincana?
A) 16.
B) 15.
C) 14.
D) 13.
E) 10.
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Answer 1

Resposta:

Letra E) 10

Explicação passo a passo:

temos que: carlos x = 1             fernando x = 2     rodrigo    x = 1     luiz x = 1

                             y = 2                            y = 1                       y = 2           y = 1

                             z = 2                            z = 4                      z = 1            z = 1

                          + ____                         +_____                 +_____      +_____

                          17 pontos                   19 pontos              15 pontos          ?

x + 2Y + 2z = 17

2x + y + 4z = 19

x + 2y + z = 15

vamos isolar x na 3° equação e ir substituindo nas outras:

x = 15 - 2y - z

(15 - 2y - z ) + 2y + 2z = 17

15 + z = 17

z = 17 - 15

z = 2

2 (15 - 2y - z) + y +4z = 19

 

(multiplicar o dois por todos os números dentro do parênteses)

30 - 4y - 2z + y + 4z = 19

30 - 3y + 2z = 19

30 - 3y + 2(2) = 19

30 - 3y  + 4 = 19

-3y = 19 - 34

-3y = -15    (-1)

3y = -15

y = 15/3

y = 5

agora ja sabendo duas letras

vamos resolver a 3° equação ja subsituindo as letras

x = 15 - 2 (5) - 2

x = 15 - 10 - 2

x = 3

sendo assim Luiz fez: 3 + 5 + 2 = 10

Answer 2

Considerando que Lucas completou 1 tarefa em cada etapa, ele marcou, ao todo, 10 pontos. Assim, a resposta correta é a alternativa E) 10.

Para resolvermos esse problema, temos que entender o conceito de sistemas lineares. Um sistema linear é um conjunto de equações com variáveis de primeira ordem (isso é, elevadas à potência 1). Pode ter várias variáveis (como x, y, z) e, para cada variável, devemos ter uma equação para que o sistema possa ser resolvido.

Entendido o conceito, temos que converter o enunciado em diferentes equações. É dito que cada aluno completou um número diferente de tarefas em cada etapa, e que tarefas de uma mesma etapa valiam a mesma pontuação. Assim, podemos converter isso em diferentes equações lineares. Por exemplo, Carlos completou uma tarefa na primeira etapa, duas tarefas na segunda etapa, duas tarefas na terceira etapa, e isso lhe conferiu 17 pontos. Com isso, obtemos a equação $1x + 2y + 2z = 17$ (x sendo o valor da tarefa na primeira etapa, y o valor da tarefa na segunda etapa, z o valor da tarefa na terceira etapa, e 17 a pontuação obtida).

Repetindo o processo para os outro alunos, obtemos o seguinte sistema linear:

• 1x + 2y + 2z = 17
• 2x + 1y + 4z = 19
• 1x + 2y + 1z = 15

Resolvendo o sistema acima, obtemos que cada tarefa da primeira etapa vale 3 pontos, cada tarefa da segunda etapa vale 5 pontos, e cada tarefa da terceira etapa vale 2 pontos.

Portanto, a pontuação de Lucas vale 1*(3) + 2*(5) + 1*(2) = 10. Assim, Lucas obteu 10 pontos, levando à alternativa correta sendo a letra E) 10.

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