Question

Um projetil é lançado do solo, verticalmente para cima. A relação entre sua altura e o tempo de movimento é dada pela função h(t) = – 5t2 + 60t onde h é a altura, em metros, e t é o tempo, em segundos. (0,5 ponto)
a) Em quanto tempo o projetil estará de volta ao solo?
b) Qual a altura máxima atingida pelo projetil?

Answer 1

Como o exercício está na seção de matemática, não vamos nos alongar sobre as características físicas desse movimento.

Como podemos ver, o movimento descrito pelo projétil é dado por uma função de 2º grau (quadrática), ou seja, a função dada é um polinômio de grau 2 e, portanto, sua representação gráfica será uma parábola.

Ainda sobre a função, podemos afirmar que seus coeficientes "a", "b" e "c" valem, respectivamente, -5, 60 e 0 e, que sua concavidade estará voltada para baixo, uma vez que o coeficiente "a" é negativo.

a) Queremos determinar o valores de "t" nos quais a altura h(t) do projétil será igual a altura do solo (0 metros), ou seja, queremos determinar as raízes t' e t'' da função.

$\sf\boxed{\sf h(t) = 0}~~\Rightarrow~-5t^2+60t~=~0\\\\\\5t\cdot (-t+12)~=~0~~~[Equacao~incompleta~de~2^o~grau]\\\\5t\cdot (-t+12)~=~0~~~\Longrightarrow~\left\{\begin{array}{ccc}\sf 5t&=&\sf 0~~ \Longrightarrow~\boxed{\sf t'~=~0~s}\\\\\sf (-t+12)&=&\sf 0~~ \Longrightarrow~\boxed{\sf t''~=~12~s}\end{array}\right.$

Então temos que nos instantes t=0s e t=12s o projétil estava na altura do solo. No primeiro momento, o projétil estava sendo lançado e, no segundo, o projétil estava de volta ao solo.

Cuidado! O item (a) pede o intervalo de tempo entre lançamento e chegada ao solo, neste exercício, esse intervalo coincide com o valor do instante de chegada, mas não são a mesma coisa, possuem interpretações físicas diferentes.

$\sf Tempo~decorrido~=~t_{chegada}~-~t_{lancamento}\\\\Tempo~decorrido~=~12~-~0\\\\\boxed{\sf Tempo~decorrido~=~12~s}$

b) Como o projétil descreve uma parábola, sua altura máxima será igual à coordenada "y" do vértice da parábola (Vy). Há ainda outra forma de calcularmos essa altura, é sabido que a altura máxima da parábola se dá na metade do "percurso", ou seja, no instante médio entre o instante de lançamento e o instante de chegada ao solo, matematicamente esse "t" médio é dado por: t = (t'+t'')/2

Coordenada "y" do Vértice:

$\boxed{\sf Altura~maxima~=~V_y~=\,-\dfrac{\Delta}{4a}}\\\\\\\sf Altura~maxima~=\,-\dfrac{b^2-4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\\\\\\Altura~maxima~=\,-\dfrac{60^2-4\cdot (-5)\cdot 0}{4\cdot (-5)}\\\\\\Altura~maxima~=\,-\dfrac{3600-0}{-20}\\\\\\Altura~maxima~=~\dfrac{360}{2}\\\\\\\boxed{\sf Altura~maxima~=~180~m}$

Instante médio entre lançamento e chegada:

$\sf Altura~maxima~=~h\left(\dfrac{t'+t''}{2}\right)\\\\\\Altura~maxima~=~h\left(\dfrac{0+12}{2}\right)\\\\\\Altura~maxima~=~h\left(6\right)\\\\\\Altura~maxima~=~-5\cdot (6)^2+60\cdot 6\\\\\\Altura~maxima~=~-5\cdot 36+360\\\\\\Altura~maxima~=~-180+360\\\\\\\boxed{\sf Altura~maxima~=~180~m}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$