Question

Seja $Sn= \displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n} \cdot (_p^n) \cdot (2^p \cdot 3^{n-p}-4^p)$; então, para todo $n \in \mathbb{N}$:

a) $Sn= [\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n} \cdot (3^{n-p}-2^{p})]^2$

b) $Sn= (_2^n) \cdot (_3^n)$

c) $Sn= n$

d) $Sn= 0$

e) $n.d.a$

Eu tentei várias coisas, mas não cheguei a uma conclusão. Se alguém puder me ajudar ficarei muito grato! =)

Answer 1

$S_{n}=\displaystyle\sum\limit_{p=0}^{n}{\binom{n}{p}\cdot (2^{p}\cdot 3^{n-p}-4^{p})}$


Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação no somando (termo "dentro do somatório"), temos

$S_{n}=\displaystyle\sum\limit_{p=0}^{n}{\left[\binom{n}{p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^{p}-\binom{n}{p}\cdot 4^{p} \right ]}$

Podemos agora separar em dois somatórios, e ficamos com

$S_{n}=\displaystyle\sum\limit_{p=0}^{n}{\binom{n}{p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^{p}}-\sum\limit_{p=0}^{n}{\binom{n}{p}\cdot 4^{p}}\\ \\ \\ S_{n}=\sum\limit_{p=0}^{n}{\binom{n}{p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^{p}}-\sum\limit_{p=0}^{n}{\binom{n}{p}\cdot 1^{n-p}\cdot 4^{p}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$

Analisando cada um dos somatórios acima, vemos que são expansões do Binômio de Newton:

$(a+b)^{n}=\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}{\binom{n}{p}\cdot a^{n-p}\cdot b^{p}}$


Comparando com a expressão $\mathbf{(i)},$ concluímos que

$S_{n}=(3+2)^{n}-(1+4)^{n}\\ \\ S_{n}=5^{n}-5^{n}\\ \\ S_{n}=0$


Resposta: alternativa $\text{d) }S_{n}=0.$