Question

Gente alguém ajuda pfvrr!!
Calcule as potencias de i ?​

Answer 1

Resposta:

Solução:

e)

$\displaystyle \sf 1^{103} - i^{252} = -i - 1$

f)

$\displaystyle \sf \dfrac{i^{\;325} + i^{\;625}}{i^{\:275} - i^{\:585}} = \dfrac{i + i}{-i - i} = \dfrac{2i}{- 2i} = -\:1$

''Ser imparcial não significa não ter princípio, e sim profissional''.

                Willyan Taglialenha.

Explicação passo a passo:

$\displaystyle \sf i^{103} = i^3 = -i$

$\displaystyle \sf i^{252} = i^0 = 1$

$\displaystyle \sf i^{325} = i^1 = i$

$\displaystyle \sf i^{625} = i^1 = i$

$\displaystyle \sf i^{275} = i^3 = - i$

$\displaystyle \sf i^{585} = i^1 = i$

Answer 2

e) -1-i

f) -1

Explicação

Seja $\mathsf{n\in\mathbb{N}.}$ É possível provar que $\mathsf{i^n=i^r}$ em que r é o resto da divisão de n por 4.

Na divisão por 4, só há 4 possíveis valores para o resto: 0, 1, 2 ou 3.

Quando $\mathsf{n\in\{0,\,1,\,2,\,3\},}$ as potências de i são as seguintes:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf i^0=1\\\sf i^1=i\\\sf i^2=-1\\\sf i^3=i^2\cdot i =-1\cdot i=-i\end{array}}$

Assim sendo, vamos resolver cada item desta questão.

Item e

$\large\mathsf{i^{103}-i^{252}}$

Dividindo 103 por 4, obtém-se quociente 100 e resto 3.

Desse modo, temos $\mathsf{i^{103}=i^{3}=-i.}$

Faça o mesmo para o número 252. Perceba que obtemos quociente 63 e resto 0.

Então, $\mathsf{i^{252}=i^{0}=1.}$

∴ $\large\boxed{\mathsf{i^{103}-i^{252}=-i-1=-1-i}}$

Item f

$\displaystyle\large\mathsf{\frac{i^{325}+i^{625}}{i^{275}-i^{585}}}$

Use raciocínio análogo ao do item anterior e note que:

$\displaystyle\large\mathsf{\frac{i^{325}+i^{625}}{i^{275}-i^{585}}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{i^{1}+i^{1}}{i^{3}-i^{1}}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{i+i}{-i-i}=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{2i}{-2i}=}\\\\\\\large\mathsf{=-1}$

Logo,

$\large\boxed{\mathsf{\frac{i^{325}+i^{625}}{i^{275}-i^{585}}=-1.}}$

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