Question

Calcule os determinantes a seguir usando a propriedade (Det 11)


a)
$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0&3\\2&7&0&6\\0&6&3&0\\7&3&1&-5\end{array}\right]$


b)
$\left[\begin{array}{ccc}3&5&-2&6\\1&2&-1&1\\2&4&1&5\\3&7&5&3\end{array}\right]$

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de determinantes.

a) $\begin{vmatrix}1&0&0&3\\2&7&0&6\\0&6&3&0\\7&3&1&-5\\\end{vmatrix}$

Primeiro, lembre-se que o determinante de uma matriz de ordem $n\geq 4$ pode ser calculado pelo Teorema de Laplace, que afirma que este é igual ao somatório dos produtos dos cofatores das matrizes pelas menores complementares do elemento escolhido.

Seja $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\\end{bmatrix}$ uma matriz de entradas $a_{ij}\in\mathbb{R}$ com $i,~j \in\mathbb{N}$.

De acordo com o Teorema de Laplace, vale que

$\det(A)=\displaystyle{\sum_{i,~j}^n \widetilde{a_{ij}}\cdot M_{ij}}$, onde $\widetilde{a_{ij}}=(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}$ é o cofator do elemento $a_{ij}$ e $M_{ij}$ é a matriz menor complementar, calculada ao se deletar a linha $i$ e coluna $j$ do elemento escolhido.

No exemplo, escolhendo a primeira linha, temos:

$\det(A)=a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\\end{vmatrix}+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}\\\end{vmatrix}+\cdots$

Então, por conveniência, escolhemos a linha com maior número de elementos nulos, de modo a facilitar o cálculo do determinante.

Assim como no exemplo, escolhendo a primeira linha, teremos:

$\det(A)=1\cdot (-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}7&0&6\\6&3&0\\3&1&-5\\\end{vmatrix}+3\cdot (-1)^{1+4}\cdot \begin{vmatrix}2&7&0\\0&6&3\\7&3&1\\\end{vmatrix}$

Some os valores nos expoentes, calcule as potências e os determinantes das matrizes de ordem $3$

$\det(A)=\begin{vmatrix}7&0&6\\6&3&0\\3&1&-5\\\end{vmatrix}-3\cdot \begin{vmatrix}2&7&0\\0&6&3\\7&3&1\\\end{vmatrix}$

O determinante de matrizes de ordem $3$ pode ser calculado pela Regra de Sarrus: replica-se as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcula-se a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

$\begin{vmatrix}7&0&6\\6&3&0\\3&1&-5\\\end{vmatrix}\begin{matrix}7&0\\6&3\\3&1\\\end{matrix}\\\\\\ 7\cdot 3\cdot (-5)+0\cdot0\cdot 3+6\cdot6\cdot 1-(0\cdot 6\cdot(-5)+7\cdot0\cdot 1+6\cdot3\cdot 3)\\\\\\ -105 +36-(-30 + 54)\\\\\\ -69 - 24\\\\\\ -93$

$\begin{vmatrix}2&7&0\\0&6&3\\7&3&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}2&7\\0&6\\7&3\\\end{matrix}\\\\\\ 2\cdot 6\cdot 1+7\cdot3\cdot 7+0\cdot0\cdot 3-(7\cdot 0\cdot1+2\cdot3\cdot 3+0\cdot6\cdot 7)\\\\\\ 12 +147-18\\\\\\ 141$

Então, teremos:

$\det(A)=-93-3\cdot 141\\\\\\ \det(A)=-93-423\\\\\\ \det(A)=-546$

Este é o determinante desta matriz.