Question

Calculo dessa integral. Onde a: Pi/3 e b: 0    
$\int\limits^a_b {sen^2(x)} \, dx$

Answer 1

Oi Camila

Para resolver essa integral vai ter que usar uma identidade trigonométrica:

$\boxed{sen^2(x)= \frac{1}{2} - \frac{cos(2x)}{2} }$

Então vamos substituir na integral:

$\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { (\frac{1}{2}- \frac{cos(2x)}{2} ) } \, dx \\ \\ \frac{1}{2}\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { } \, dx- \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 {cos(2x) } \, dx \\ -------------------- \\ u=2x~~~~ \frac{du}{dx}=2~~~~dx= \frac{du}{2} \\ \\ Limite \ inferior \ \ \ u=2.0=0 \\ Limite \ superior \ \ \ u=2. \frac{ \pi }{3} =\frac{ 2\pi }{3} \\ -----------------$

$\frac{1}{2}\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { } \, dx- \frac{1}{2} \int\limits^{ \frac{ 2\pi }{3}} _0 {cos(u) } \, \frac{du}{2} \\ \\ \frac{1}{2}\int\limits^{ \frac{ \pi }{3}} _0 { } \, dx- \frac{1}{4} \int\limits^{ \frac{ 2\pi }{3}} _0 {cos(u) } \, du \\ \\ \frac{1}{2}.x \ |^{ \frac{ \pi }{3} }_0 - \frac{1}{4}.sen(u)\ |^{ \frac{2 \pi }{3} }_0 \\ \\ \frac{1}{2}( \frac{ \pi }{3} -0)- \frac{1}{4}.sen(u) \ |^{ \frac{2 \pi }{3} }_0$

$\frac{ \pi }{6}- \frac{1}{4}(sen(\frac{2 \pi }{3})-sen(0) ) \\ \\ \frac{ \pi }{6}- \frac{1}{4}(\frac{ \sqrt{3} }{2}) \\ \\ \boxed{\frac{ \pi }{6}-\frac{ \sqrt{3} }{8}}$

Espero que goste Comenta depois :)