Question

Um jogador de futebol aplica um potente chute na bola, esta alça voo formando 60º com a horizontal a velocidade de 90km/h. Determine: A) as equações do movimento Vxt e Sxt. B) a altura máxima da bola no voo. C) O alcance da bola.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ a) Vₓ(t) = 12,5 [m/s], Sₓ(t) = 12,5 × t [m]; b) h ≈ 15,62 [m]; c) d ≈ 44,5 [m]. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos fazer uma decomposição vetorial e utilizar as funções horárias da posição em MRU e MRUV e da velocidade para cada eixo de deslocamento.⠀⭐⠀

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    $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(2,1){3}}\put(0,0){\circle{2}}\bezier{30}(0,0)(2,0)(4,0)\put(1,0.1){\large \sf 60^{\circ} }\put(1,1){\LARGE \overrightarrow{\sf v} }\put(3,0){\vector(0,1){1.5}}\put(0,0){\vector(1,0){3}}\put(1.3,-0.7){\LARGE \overrightarrow{\sf v_x} }\put(3.3,0.5){\LARGE \overrightarrow{\sf v_y} }\put(5.5,1){\dashbox{0.1}(7,1){\Large \sf \overrightarrow{\sf v_x} = cos(60^{\circ}) \cdot 90~[km/h] }}\put(5.5,-1){\dashbox{0.1}(7,1){\Large \sf \overrightarrow{\sf v_y} = sen(60^{\circ}) \cdot 90~[km/h] }}\end{picture}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Observe agora a seguinte relação das funções horárias:

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                  $\gray{\boxed{~~\begin{array}{lcr}&&\\&\Large\pink{\underline{\bf~~~~F\acute{o}rmula~do~sorvet\tilde{a}o~~~~}}&\\&&\\&&\\&&\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~I)~~Rearranjando~a_m~}~~\spadesuit}&\\&&\\&\orange{\sf a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{v_f - v_i}{t_f - 0}}&\\&&\\&\boxed{\orange{\sf v_f = v_i + a_m \cdot t_f\qquad\red{\sf\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~hor\acute{a}ria~da~velocidade)}}}&\\&&\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~somamos~v_i~em~ambos~os~lados~}~~\spadesuit}&\\&&\\&\orange{\sf v_f + v_i = 2 \cdot v_i + a_m \cdot t_f }&\\&&\\&\green{\sf\spadesuit~~\underline{~e~dividimos~ambos~os~lados~por~2~}~~\spadesuit}&\\&&\\&\orange{\sf v_m = \dfrac{v_f + v_i}{2} = v_i + \dfrac{ a_m \cdot t_f}{2}}\\&&\\&\green{\sf\clubsuit~~\underline{~II)~~Rearranjando~v_m~}~~\clubsuit}&\\&&\\&\orange{\sf v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{s_f - s_i}{t_f - 0}}&\\&&\\&\boxed{\orange{\sf s_f = s_i + v_m \cdot t_f\quad\:\:\:\red{\sf\:\footnotesize(func_{\!\!,}\tilde{a}o~horaria~da~posic\tilde{a}o)}}}&\\&&\\&\green{\sf\blacklozenge~~\underline{~III)~~De~I)~em~II)~temos~}~~\blacklozenge}&\\&&\\&\orange{\sf s_f = s_i + \left(v_i + \dfrac{a_m \cdot t_f}{2}\right) \cdot t_f}&\\&&\\&&\\&\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{lcr}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf s(t) = s_0 + v_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}&\\&&\\&&\end{array}~~}}$

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A) as equações do movimento Vₓ(t) e Sₓ(t)       ✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Observe que sendo a velocidade no eixo x constante (não há nenhuma força freando ou acelerando o movimento) então Vₓ(t) = cos(60º) × 90 = 45 [km/h] = 45 × (1.000/3.600) [m/s] = 45 / 3,6 [m/s] = 12,5 [m/s].  ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Já para a posição podemos utilizar a função horária da posição de forma que Sₓ(t) = 0 + 12,5 × t = 12,5 × t [m]. ✅

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B) a altura máxima da bola no voo.        ✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Observe agora que no eixo vertical temos uma componente da velocidade (sen(60º) × 90 = 12,5 × √2 ≈ 12,5 × 1,4 ≈ 17,5 [m/s]) que assumiremos como positiva e a aceleração da gravidade (9,8 [m/s²]) que assumiremos como negativa por estar no sentido oposto. Vamos encontrar o tempo que ela leva para alcançar a altura máxima (aonde a velocidade será nula) pela função horária da velocidade:  

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$\LARGE\blue{\sf 0 \approx 12,5 \times 1,4 - 9,8 \cdot t}$

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$\LARGE\blue{\sf t \approx \dfrac{17,5}{9,8} \approx 1,78~[s]}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Vamos agora, com a fórmula do sorvetão, encontrar o deslocamento vertical até a altura máxima:

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$\large\blue{\sf s(1,78) \approx 0 + 17,5 \cdot 1,78 - \dfrac{9,8 \cdot 1,78^2}{2}}$

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$\large\blue{\sf s(1,78) \approx 31,15 - 4,9 \cdot 3,17}$

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$\large\blue{\sf s(1,78) \approx 31,15 - 15,53 \approx 15,62~[m]}$  ✅

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 C) O alcance da bola.        ✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Já para a posição podemos utilizar a função horária da posição para t ≈ 2 × 1,78 ≈ 3,56 (o tempo que levou para subir até a altura máxima foi o tempo que levou para cair até o nível do solo):

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$\LARGE\blue{\sf s(3,56) \approx 0 + 12,5 \cdot 3,56}$

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$\LARGE\blue{\sf s(3,56) \approx 44,5~[m]}$ ✅

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre funções horárias:

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