Question

Bom dia!

Poderiam me ajudar nessa questão?
Muito obrigado!​

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\sf g(x) = \begin{cases} \sf\frac{ |x - 5| }{x - 5} , \: se \:x \neq5 \\ \sf0 , \: se \: x = 5 \end{cases}$

Para verificar a continuidade dessa função, devemos lembrar das 3 condições que devem quer atendidas, são elas:

1. A função deve ser definida;
2. Os limites laterais devem ser iguais, ou seja, o limite bilateral deve existir;
3. A função definida deve ser igual ao limite bilateral.

Vamos iniciar pela ordem citada acima.

• Passo 1: Definição

Observando as informações fornecidas, podemos ver que quando x = 5, g(x) = 0, portanto, é possível dizer que a função é sim definida:

$\sf g(5) = 0$

• Passo 2: Limites laterais

Os limites laterais são dados por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \lim_{x\to a^+} f(x) = \lim_{x\to a^ - } f(x)$

Como estamos analisando o ponto em que x se aproxima de 5, então podemos substituir:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \lim_{x\to 5^+} f(x) = \lim_{x\to 5^ - } f(x)$

Quando x tende a 5 pela direita quer dizer que ele se aproxima de 5 por valores maiores que ele, nunca chegando a ser 5 de fato, assim também quando x tende a 5 pela esquerda, sempre se aproxima de 5, mas nunca chega a ser ele, ou seja, devemos escolher a função de quando x ≠ 5, então:

$\: \: \: \: \sf \lim_{x\to 5^+} \frac{ |x - 5| }{x - 5} = \lim_{x\to 5^ - } \frac{ |x - 5| }{x - 5}$

Para resolver esses limites, devemos primeiro fazer o uso da definição de módulo:

$\sf |x| = \begin{cases} \sf x, \: se \: x \geqslant 0 \\ \sf - x , \: se \: x < 0 \end{cases} \: \cdots \\ \\ \sf |x - 5| = \begin{cases} \sf x - 5, \: se \: x\geqslant 5\\ \sf - (x - 5) , \: se \: x < 5 \end{cases}$

Aplicando isso nos limites laterais, temos que quando x tende a 5 pela direita, ele se aproxima de 5 por valores maiores que ele, então a expressão que deve ser usada é referente a x ≥ 5, do mesmo jeito qua do x tende a 5 pela esquerda, a expressão referente é quando x < 5:

$\: \: \: \: \sf \lim_{x\to 5^+} \frac{ x - 5 }{x - 5} = \lim_{x\to 5^ - } \frac{ - (x - 5)}{x - 5} \\ \\ \sf \lim_{x\to 5^+} 1 = \lim_{x\to 5^ - } - 1 \\ \\ \sf \boxed{ \sf 1 \neq - 1}$

Como os limites não foram iguais, podemos dizer então que o limite bilateral não existe:

$\boxed{ \sf \lim_{x\to 5^+}f(x) \neq \lim_{x\to 5^ - } f(x) \to \: \ \red{\nexists\lim_{x\to 5}f(x)}}$

Além de não existir o limite bilateral, por este motivo a função passa a ser não contínua, uma vez que o limite bilateral não existe e não pode ser igual a função definida.

• Resposta: A função não é contínua, isto é, o limite bilateral não existe.

Espero ter ajudado