Explique porquê a função f(x) = tan(x), só é invertível por partes. Esboçe o gráfico de f(x) e de sua inversa no intervalo [-π/2 , π/2].
Respostas
Resposta:
A solução detalhada encontra-se na explicação passo a passo.
Explicação passo a passo:
Uma função f : A → B é inversível ou invertível se, e somente se, f é bijetora (injetora e sobrejetora simultaneamente).
No caso da função tangente, para todo o seu domínio D(f) = R - {π/2 + kπ, k ∈Z} a função não é injetora e portanto não é bijetora, logo não admite inversa.
Para que a função f : A → B admita inversa podemos trabalhar com os conjuntos A e B de forma a tornar a função bijetora.
Como a função tangente possui período π, podemos escolher convenientemente o intervalo ]-π/2 , π/2[ para domínio de f. Onde neste intervalo podemos verificar que a função é bijetora e consequentemente possui inversa conforme o gráfico da função f(x) = tan x e de sua inversa f⁻¹(x) = arc tan x.
Observação: o intervalo é aberto, pois a função tangente não é definida nos extremos desse intervalo.
