Question

Determine p de modo que retas r: -2x + (p-7)y = 0 e s: px + y - 13 = 0 sejam perpendiculares

Answer 1

r: - 2x + (p -7)y = 0

r: - 2x = - (p - 7)y . (- 1)

r: 2x = (p - 7)y

r: $\frac{2x}{p - 7} = y$

s: px + y - 13 = 0

s: px - 13 = - y . (- 1)

s: - px + 13 = y

$\frac{2}{p - 7} . (-p) = - 1 . (- 1)$

$\frac{2}{p - 7} . p= 1$

$2p = 1 (p - 7)$

$2p = p - 7$

$2p - p = - 7$

$p = -7$

Answer 2

Portanto, podemos concluir que as retas r e s serão perpendiculares quando $\large \displaystyle \mathsf{ p = - 7 }$.

Consideremos as retas perpendiculares r e s ( Vide a figura em anexo )

em que $\textstyle \sf \sf m_r = \tan_{\alpha}$ é o coeficiente angular de r e  $\textstyle \sf \sf m_s = \tan_{\beta}$   é o coeficiente angular de s.

No triângulo retângulo ABC, limitado por r, s e o eixo $\textstyle \sf \sf Ox$, temos:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf \tan {\alpha} = \dfrac{AC}{AB} \\ \large \text {\sf e } \\ \sf \tan ({180^\circ} - \alpha )= \dfrac{AB}{AC} \end{cases}$

Da trigonometria, temos $\textstyle \sf \sf \tan ( 180^\circ - \alpha) = - \tan {\beta}$.

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf \tan {\alpha} = \dfrac{AC}{AB} \quad ( I ) \\ \\ \sf \tan {\beta}= - \dfrac{AB}{AC} = - \dfrac{1}{ \dfrac{AC}{AB} } \quad ( I I )\end{cases}$

Substituindo ( I ) em ( I I ), temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \tan{\beta} = \dfrac{1}{\tan{\alpha}} } }$

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ m_s = - \dfrac{1}{m_r} } } }$

$\large\displaystyle \text { \mathsf{ -p = - \dfrac{1}{p-7 } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf r: -2x + (p-7) \cdot y = 0 \\ \sf s: px + y - 13 =0\\ \sf p = \:? \end{cases}$

Achando o coeficiente angular de cada reta, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ r :-2x + (p-7)\cdot y = 0 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ (p -7) \cdot y = 2x }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{2}{p- 7} \cdot x } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_r = \dfrac{2}{p-7} }$

$\large \displaystyle \mathsf{ s: px + y - 13 = 0 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ y = -px + 13 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf m_s = -p }$

Usando a condição de perpendicularismo, temos:

$\large\displaystyle \text { \mathsf{ m_s = - \dfrac{1}{m_r} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ m_s \cdot m_r = - 1 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ -p \cdot \dfrac{2}{p-7} = - 1 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{-2p}{p-7} = - 1 } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ -1 \cdot (p-7 )= -2p }$

$\large \displaystyle \mathsf{ -p+7 =-2p }$

$\large \displaystyle \mathsf{2p -p = - 7 }$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf p = -7 }} }$

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/livros-didaticos/q-determine-p-r-modo-retas-r-s

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