Question

relacione f(t) sin wt com f(s) foto​

Answer 1

$\sf\Large F(s) = \frac{w}{s^2+w^2}$

Explicação

Temos a seguinte função:

$\:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \bullet \:  \: \sf f(t) =  \sin(w.t)$

Para podermos relacionar f(t) com F(s), isto é, passar a função do domínio em t para s, devemos usar a Transformada de Laplace, dada por:

$\:  \:  \:  \:  \:   \: \:  \:  \bullet \:  \sf F(s) = \int\limits_{0}^{ \infty }e^{ - st} .f(t) \: dt$

Vamos substituir a função f(t), dentro da relação da Transformada.

$\:  \:  \:  \:  \:  \:  \sf F(s) = \int\limits_{0}^{ \infty}e^{ - st} . \sin(wt) \: dt$

Para solucionar a integral, vamos utilizar o método da integração por partes, onde vamos derivar a função trigonométrica e a integrar a função exponencial.

$\sf u =  \sin(wt) \:  \:  \to \:  \:  {du} =  w\cos(wt) dt \\  \\  \sf  \int dv =  \int e {}^{ - st}  \:  \:  \to \:  \: v =  -  \frac{e {}^{ - st} }{s}$

Substituindo os resultados na fórmula citada logo acima.

$\sf\int  \sin(wt).e {}^{ - st} dt =  \sin(wt). \left(  -  \frac{e ^{ - st} }{s} \right) -  \int \left(  -  \frac{e ^{ - st} }{s} \right).w. \cos(wt) dt \\  \\  \sf \int  \sin(wt).e {}^{ - st} dt =  -  \frac{ e ^{ - st} .\sin(wt)}{s}   +  \frac{w}{s}  \int  e {}^{ - st}  . \cos(wt) \: dt\: (1)$

Outra integral similar foi gerada, portanto vamos utilizar o mesmo modelo de resolução utilizado anteriormente.

$\sf u =  \cos(wt) \:  \:  \to \:  \: du =  - w. \sin(wt) \: dt \\  \\  \sf \int dv =  \int e {}^{  - st} dt \:  \:  \to \:  \: v =  -  \frac{e {}^{ - st} }{s}$

Substituindo os dados:

$\sf  \int cos(wt).e {}^{ - st}  \: dt =  \cos(wt).\left(  -  \frac{e ^{ - st} }{s} \right) -  \int \left(  -  \frac{e ^{ - st} }{s} \right).( - w \sin(wt)) \: dt \\  \\  \sf \int cos(wt).e {}^{ - st}  \: dt =  -  \frac{ \cos(wt).e ^{ - st} }{s}  -  \frac{w}{s}  \int e {}^{ - st} . \sin(wt) \: dt$

Conhecido o valor desta integral, podemos agora prosseguir com o cálculo.

$\sf \int \sin(wt).e^{ - st} dt = - \frac{e^{-st} .\sin(wt)}{s} + \frac{w}{s} . \left(-\frac{\cos(wt).e^{ - st}}{s} - \frac{w}{s} \int e^{-st} . \sin(wt) \: dt\right)\\\\ \sf \int \sin(wt).e^{-st} dt = - \frac{e^{-st} .\sin(wt)}{s} - \frac{w. \cos(wt).e^{-st} }{s^{2} } - \frac{w^{2} }{s^{2} } \int e^{ - st} \sin(wt) \: d\\\\ \sf \int \sin(wt).e^{-st} dt + \frac{w^{2} }{s^{2}} \int e^{ - st} \sin(wt) \: dt = - \frac{e^{-st} .\sin(wt)}{s} - \frac{w. \cos(wt).e^{ - st} }{s^{2} }\\\\ \sf \left( 1 + \frac{w^{2}}{s^{2}} \right)\int e^{ - st} \sin(wt) \: dt = - \frac{e^{ - st} .\sin(wt)}{s} - \frac{w. \cos(wt).e^{ - st}}{s^{2}}\\\\ \sf \int e^{ - st} \sin(wt) \: dt = \frac{- \frac{ e^{ - st} .\sin(wt)}{s}}{ \left( 1 + \frac{w^{2} }{s^{2} } \right) } - \frac{ \frac{w. \cos(wt).e^{ - st} }{s ^{2} } }{ \left( 1 + \frac{w^{2} }{s^{2} } \right) } \\ \\ \sf \int e^{ - st} \sin(wt) \: dt = \frac{- \frac{ e ^{ - st} .\sin(wt)}{s}}{ \left( \frac{s^{2} + w^{2} }{s^{2} } \right) } - \frac{ \frac{w. \cos(wt).e^{ - st} }{s^{2} } }{ \left( \frac{s^{2} + w^{2} }{s^{2} } \right) } \\ \\ \sf \int e^{ - st} \sin(wt) \: dt = - \frac{ e ^{ - st} .\sin(wt)}{ \cancel{s}}. \frac{ \cancel{s^{2}} }{s^{2} + w^{2} } - \frac{w. \cos(wt).e^{ - st} }{ \cancel{s ^{2}} }. \frac{ \cancel{s^{2}} }{s^{2} + w^{2} } \\ \\ \sf \int e^{ - st} \sin(wt) \: dt = \frac{1}{s^{2} + w^{2} } . \left[- s.e^{ - st} .\sin(wt)- w. \cos(wt).e^{ - st}\right]$

Para finalizar, devemos apenas substituir os limites de integração, que parte desde 0 até o infinito positivo.

$\sf \frac{1}{s {}^{2} + w {}^{2} } . \left[- s.e ^{ - st} .\sin(wt)- w. \cos(wt).e^{ - st}\right] \bigg |_{0} ^{ \infty } \\ \\ \sf \frac{1}{s {}^{2} + w {}^{2} } . \left[(- s.e ^{ - s. \infty } .\sin(w. \infty )- w. \cos(w. \infty ).e^{ - s. \infty }) - (- s.e ^{ - s.0} .\sin(w.0))- w. \cos(w.0).e^{ - s.0}) \right] \\ \\ \sf \frac{1}{s {}^{2} + w {}^{2} } . \left[ \left( \cancel{- \frac{s}{e {}^{ \infty }} .\sin(w. \infty )}^{0} - \cancel{ \frac{ w. \cos(w. \infty )}{e^{ \infty } } ^{0} }\right) - ( \cancel{- s.e ^{ - s.0} . \sin(w.0))} ^{0} - \underbrace{w. \cos(w.0).e^{ - s.0}) }_{ - w} \right] \\ \\ \sf \frac{1}{s {}^{2} + w {}^{2} } . [ - ( - w)] \: \: \to \: \: \boxed{\sf\frac{w}{s {}^{2} + w {}^{2} } }$

Portanto temos que esta é a relação entre a função no domínio de t e a função no domínio de s.

Espero ter ajudado

Answer 2

• O resultado da transformada de Laplace da função dada é igual a (ω)/(s²+ω²). Alternativa A).

Desejamos calcular a transformada de Laplace de f(t) sendo f(t) = sin(ωt). Para isso, devemos lembrar que a transformada de Laplace é dada pela seguinte fórmula:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} =\int _{0}^\infty f(t)\cdot e^{-st}dt=F(s)\end{gathered}$

No caso da sua questão, aplicar f(t) = sin(ωt) na fórmula seria uma tarefa bem difícil, pois teríamos uma integral nada trivial. Para facilitar a nossa vida, temos a incrível identidade de Euler, dada da seguinte forma:

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\end{gathered}$

Chamando θ = ωt , temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)\end{gathered}$

E para -i, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt e^{-i\omega t}=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)\end{gathered}$

Subtraindo ambos, encontramos a seguinte relação:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}=2i\sin(\omega t)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \sin(\omega t)= \frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}\end{gathered} }$

Destarte, surge que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{\sin(\omega t)\right\} =\mathcal{L}\left\{\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i} \right\} \end{gathered} }$

E pela linearidade:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{\sin(\omega t)\right\} =\frac{1}{2i}\cdot \left[\mathcal{L}\left\{e^{i\omega t}\right\} - \mathcal{L}\left\{e^{-i\omega t}\right\} \right]\end{gathered} }$

Vamos então calcular a transformada da função f(t) = e^(iωt) recorrendo a fórmula.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{e^{i\omega t}\right\} =\int _0^\infty e^{i\omega t}\cdot e^{-st}dt\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{e^{i\omega t}\right\} =\int _0^\infty e^{t(i\omega-s) }dt\end{gathered} }$

Substituição simples:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u=t(i\omega -s)\implies \frac{du}{ -s+i\omega} = dt\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{e^{i\omega t}\right\} =\int _0^\infty e^{u}\cdot \frac{du}{-s+i\omega} \end{gathered} }$

Agora, iremos utilizar a seguinte propriedade:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\tt \int _b^af(x)dx=-\int ^b_af(x)dx}\end{gathered}$

Ficando por fim:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{e^{i\omega t}\right\} =-\int _{-\infty}^0 e^{u}\cdot \frac{du}{-s+i\omega} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{e^{i\omega t}\right\} =\frac{1}{s-i\omega}\int _{-\infty}^0e^{u}du \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\tt \mathcal{L}\left\{e^{i\omega t}\right\} =\frac{1}{s-i\omega}}\end{gathered} }$

Substituindo, ficamos da seguinte forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{\sin(\omega t)\right\} =\frac{1}{2i}\cdot \left(\frac{1}{s-i\omega} - \frac{1}{s+i\omega} \right)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{\sin(\omega t)\right\} =\frac{1}{2i}\cdot \left(\frac{s+i\omega-(s-i\omega)}{(s-i\omega)(s+i\omega)} \right)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \mathcal{L}\left\{\sin(\omega t)\right\} =\frac{1}{\diagup\!\!\!2i}\cdot \left(\frac{\diagup\!\!\!2i\omega}{s^2+\omega^2} \right)\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt \therefore \green{\underline{\boxed{\mathcal{L}\left\{\sin(\omega t)\right\} = \frac{\omega}{s^2+\omega^2} }}} \end{gathered} }$

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