Question

Sejam O a origem do sistema de eixos cartesianos e A o centro da circunferência de equação x^2+y^2-2x-4y=0. A equação de reta que passa pelos pontos A e O é:

Answer 1

Por meio dos cálculos desenvolvidos, chegamos a conclusão de que a reta que passa pela origem e o centro da circunferência dada, é $\boxed{\bf y = 2x}$.

Explicação:

Temos a seguinte equação:

$\:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \:x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 4y = 0$

O objetivo é calcular a equação de uma reta que passa pela origem do plano cartesiano e o centro desta circunferência citada acima. Portanto, será necessário primeiro encontrar o centro, uma vez que a origem é basicamente o início do plano cartesiano, isto é, $\bf O(0,\:0)$

• Equação geral da circunferência:

A equação geral em sua forma padrão, isto é, sem valores específicos atrelados às variáveis, é dada por $\bf x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + K = 0$, onde $\bf K$ é um termo independente da equação geral e é calculado por uma outra relação: K = a^2+b^2-r^2[/tex].

A lógica usada para encontrar os termos (a) e (b) é basicamente fazer uma comparação da equação em estudo com a equação geral na forma padrão. Como por exemplo o caso em que tem-se duas expressões do tipo $x^2-ax=0$ e $x^2 + 2x=0$, se ambas expressam a mesma ideia, podemos associar termo a termo, $x^2=x^2$ e $2x = -ax$.

Fazendo uso do que foi dito neste texto acima, para determinar a e b da equação dada, temos:

$\begin{cases} - 2x = - 2ax \\ a = \large\frac{ - 2x}{ - 2x} \\ a = 1\end{cases} \begin{cases} - 4y = - 2by \\b = \large \frac{ - 4x}{ - 2y} \\ b= 2\end{cases}$

Como o centro da circunferência é dada por $A(a,b)$, e temos os valores das coordenadas, concluímos que o centro dessa circunferência é $\bf A(1,2)$.

• Equação da reta

Para montar uma reta, dois pontos são mais que necessários. A reta em questão será do tipo $\bf y = mx + b$, onde m é o coeficiente angular que pode ser calculado pela variação das ordenadas divido pela variação das abscissas de dois pontos. Matematicamente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: m = \frac{\Delta y}{\Delta x } = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Vamos utilizar a origem $O(0,\:0)$ e o centro da circunferência $A(1,2)$encontrado anteriormente no cálculo do coeficiente angular da reta que queremos montar a equação:

$A\underbrace{(1,\:2)}_{\normalsize\sf (x_1 ,y_1)} \: \: e\: \: O\underbrace{(0,\:0)}_{\normalsize\sf(x_2,y_2)} \:\:\bigg|\:\:m = \frac{0 - 2}{0 - 1} \: \: \to \: \: \bf m = 2$

Para finalizarmos a montagem da equação, basta utilizar a equação fundamental da reta $\bf y-y_0 = m(x-x_0)$, que necessita de um ponto a qual essa reta passará e o coeficiente angular da mesma. O ponto pode ser tanto $O(0,\:0)$ como $A(1,\:2)$, por motivos de ser mais simples, usarei a origem.

$O( \underbrace{0}_{x_{0}} , \underbrace{2}_{y_{0}}) \: \: \bigg | \: \: \: y - 0 = 2(x - 0) \\ \: \: \: \: \:\:\:\:\: \bigg| \: \: \boxed{\bf y = 2x }$

Espero ter ajudado

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