Question

[50 pontos]

(IFSUL) A área de um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio 5, em função de um de seus catetos, x, é dada por:

$a) \ \ A (x) \ = \ \frac{x \sqrt{10 \ - \ x^2} }{2}$

$b) \ \ A (x) \ = \ \frac{x \sqrt{100 \ - \ x^2} }{2}$

$c) \ \ A (x) \ = \ {x \sqrt{100 \ - \ x^2}$

$d) \ \ A (x) \ = \ {x \sqrt{10 \ - \ x^2}$

$e) \ \ A (x) \ = \ \frac{x ({10 \ - \ x)} }{2}$

Answer 1

O diametro da circunferencia, equivale ao valor da hipotenusa

Por pitagoras:

d = 10 

x² +h² = 10²

x² +h² = 100

h² = 100 - x²

h = √(100-x²)

---------------------

A(x) = b*h/2

b = x

h = √(100-x²)

----------------

$\\ A(X) = \frac{base*altura}{2} \\ \\ A(X) = \frac{x* \sqrt{100-x^2} }{2}$

Letra B)

Answer 2

Um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência obrigatoriamente apresenta uma hipotenusa que coincide com o diâmetro desta circunferência.

Denominando:
a = hipotenusa = diâmetro = 10
x = cateto
y = cateto
h = altura relativa à hipotenusa

Temos, das relações do triângulo retângulo e da área de um triângulo:

a² = x² + y² = 10² = 100  (i)
a.h = x.y = 100.h            (ii)
A = a.h/2                        (iii)

Substituindo (ii) em (iii):

A = a.h/2 = 100.h/2 = x.y/2    (iv)

Temos que descrever y em função de x. Isolando y em (i), temos:

y² = 100 - x²
y = √(100 - x²)

Substituindo em (iv):

A(x) = x.√(100 - x²)/2

Alternativa B.