Question

Um número natural é dividido por 8 e deixa resto 6. Qual é o resto quando este número adicionado a 5 é dividido por 4?

Answer 1

Resposta: O resto é igual a $3$.

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Explicação passo a passo:

Seja $n$ esse número natural. Através do algoritmo da divisão (divisão euclidiana), o dividendo $a$ é igual ao produto entre o divisor $b$ e o quociente $q$ adicionado ao resto $r$: $a=bq+r$. Logo:

 $n=8q+6~~~~~~(i)$

Que por congruência, esta equação é sinônimo de:

 $n\equiv 6~(\mathrm{mod}~8)$

“$n$ é congruente a $6$ módulo $8$”, que traduzindo, indica que $n$ dividido por $8$ deixa resto $6$.

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Mas nós queremos saber o resto deixado pela divisão de $n+5$ ($n$ adicionado a $5$) por $4$. Então façamos o seguinte: Manipulando algebricamente a equação $(i)$ dividindo-a por $2$:

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 $\begin{array}{l}n=8q+6\\\\\dfrac{n}{2}=\dfrac{8q+6}{2}\\\\\dfrac{n}{2}=4q+3\iff \dfrac{n}{2}\equiv 3~(\mathrm{mod}~4)~~~~~~(ii)\end{array}$

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Veja que agora, a divisão de $\frac{n}{2}$ por $4$ deixa resto $3$. Sendo assim, vamos fazer algumas manipulações na congruência $(ii)$:

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 $\begin{array}{l}\dfrac{n}{2}\equiv 3~(\mathrm{mod}~~4)~~\to~~\text{multiplique por 2.}\\\\\dfrac{n}{2}\cdot2\equiv 3\cdot2~(\mathrm{mod}~4)\\\\n\equiv 6~(\mathrm{mod}~4)~~\to~~\text{adicione 5 .}\\\\n+5\equiv 6+5~(\mathrm{mod}~4)\\\\n+5\equiv 11~(\mathrm{mod}~4)\end{array}$

Note que ainda podemos dividir $11$ por $4$:

 $\begin{array}{c|l}11~&4\\3~&2,...\end{array}$

, resultando em quociente 2 e resto 3. Logo:

 $\begin{array}{l}n+5\equiv 3~(\mathrm{mod}~4)\end{array}$

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Então, $n+5$ dividido por $4$ deixa resto $3$.

Answer 2

Resposta:   O resto é 3.

Explicação passo a passo:

Seja $n$ um natural que deixa resto 6 na divisão por 8. Logo, existe um $q_1$ inteiro, tal que

     $n=8q_1+6$

Queremos encontrar o resto da divisão de $n+5$ por 4. Some 5 aos dois lados da igualdade:

     $\Longleftrightarrow\quad n+5=8q_1+6+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad n+5=8q_1+11$

Mas pelo algoritmo da divisão euclidiana, podemos escrever $11=4\cdot 2+3.$ Substituindo temos

     $\Longleftrightarrow\quad n+5=8q_1+(4\cdot 2+3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad n+5=(4\cdot 2q_1+4\cdot 2)+3$

Coloque 4 em evidência:

     $\Longleftrightarrow\quad n+5=4\cdot (2q_1+2)+3\\\\ \Longleftrightarrow\quad n+5=4q_2+3,\qquad\mathrm{com~}q_2=2q_1+2$

Da última igualdade acima, segue que o resto da divisão de $n+5$ por 4 é igual a 3.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)