Question

A temperatura (T) de um objeto depende da sua posição (x,y). O objeto varia sua posição em relação ao tempo (t) seguindo as equações x =2+t2 e y =3et−2 . Sabendo que a derivada parcial da temperatura em relação a variável x é constante e vale 3, que a derivada parcial da temperatura em relação a variável y também é constante e vale 2, determine a derivada da temperatura em relação ao tempo, para o instante t = 2 s.

Answer 1

Resposta:

56 K/s.

Explicação:

Vamos aplicar a regra da cadeia para resolver este problema, tendo em mente que a temperatura depende do tempo por meio da dependência com x e y: $T(x,y) = T(x(t), y(t))$.

Neste caso, a regra da cadeia se escreve:

$\frac{dT}{dt} = \frac{\partial T}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial T}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

Cada derivada total que aparece na regra da cadeia é:

$\frac{dx}{dt} = 2t\\\frac{dy}{dt} = 3e^t$

Aplicando aos dados do problema, se $y = 3e^t - 2$ e $x = 2 + t^2$,

$\frac{dT}{dt} = 3\cdot 2t + 2\cdot 3e^t$

No ponto onde t = 2 s:

$\frac{dT}{dt}\big|_{t = 2} = 6\cdot 2 + 6e^2 = 6(2 + e^2) \approx 56\;\mathrm{K/s.}$

Considerei aqui que a temperatura esteja em kelvins, mas não mudaria caso estivesse em graus Celsius, pois as variações em kelvins e Celsius são iguais.