Question

Dada a matriz A =[1 0 2 2] . Calcule o determinante da A-1

Answer 1

O determinante da A⁻¹ é 1/2.

Matrizes

Para responder essa questão, devemos considerar que:

• as matrizes são dadas na ordem mxn (m linhas e n colunas);

• uma matriz é inversível somente se seu determinante for diferente de zero;
• a matriz inversa é tal que o produto A·A⁻¹ resulta na matriz identidade.

O determinante de A será:

det(A) = 1·2 - 2·0

det(A) = 2 ≠ 0

Logo, A tem matriz inversa. Calculando o produto A·A⁻¹, teremos:

$A\cdot A^{-1} = I\\\\\left[\begin{array}{cc}1&0\\2&2\end{array}\right] \times \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

As equações serão:

1. a·1 + 0·c = 1
2. b·1 + 0·d = 0
3. 2·a + 2·c = 0
4. 2·b + 2·d = 1

Da equação 1, temos a = 1. Da equação 2, temos b = 0. Com estes valores, teremos c = -1 e d = 1/2.

A matriz inversa de A será:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\-1&\dfrac{1}{2}\end{array}\right]$

O determinante será:

det(A⁻¹) = 1·(1/2) - (-1)·0

det(A⁻¹) = 1/2

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