Question

Enuncie o principio da Indução e Prove que para qualquer n≥3 teremos 2n+1<2^n

Answer 1

Princípio da Indução:

"Se P é uma propriedade do número natural n e P é tal que, se P é uma propriedade de k, então é propriedade de k + 1, todo número natural maior ou igual a n goza da propriedade P."

Mostremos o caso base, n=  3:

2(3) + 1 = 7 < 2^3 = 8.

Por indução, suponha que 2n + 1 < 2^n para algum n ≥ 3. Como n ≥ 3, devemos ter que 2^n > 2. Assim mostremos para n + 1:

2(n + 1) + 1 = (2n + 1) + 2 < 2^n + 2 < 2^n + 2^n = 2^(n+1)

Logo 2n + 1 < 2^n para todo n ≥ 3 natural.