Question

obtenha a forma trigonométrica do complexo z, tal que, i. z̅+ 2. z = 1 − i.

Answer 1

Com o estudo sobre a forma trigonométrica de um número complexo, temos como resposta $z=\sqrt{2}\left(cos\left(315\right)+i\cdot sen\left(315\right)\right)$

Forma trigonométrica-números complexos

módulo de um número complexo: O módulo de um número real é dado pela distância desse número à origem quando ele é inserido numa reta real.

Exemplo: |-3| = 3

---------- -3----------0--> a distância de -3 a 0 é 3.

A mesma definição pode ser aplicada a número complexos, ou seja, seu módulo é dado pela distância da imagem desse número complexo no plano de Argand-Gauss à origem. A origem do plano é a origem do plano cartesiano, e é dada por O = (0,0). Um número complexo z = a+bi tem como imagem P = (a,b). Assim, para calcular a distância de P a origem O, devemos lembrar do cálculo da distância entre dois pontos.

• $d_{p,O}=\sqrt{\left(a-0\right)^2+\left(b-0\right)^2}$

Utilizamos a letra grega $\rho$ para indicar o módulo de um número complexo, ou seja:

• $\left|z\right|=\rho \:=\sqrt{a^2+b^2}$

A forma trigonométrica de uma número complexo é dado por $z=\rho \:\left(cos\left(\theta \right)+i\cdot sen\left(\theta \right)\right)$

Observação:

$\begin{cases}sen\left(\theta \right)=\dfrac{b}{\rho }&\\ cos\left(\theta \right)=\dfrac{a}{\rho }&\end{cases}$

Sendo assim vamos resolver o exercício.

Primeiramente vamos determinar o número complexo z

• $i\cdot \:\overline{z}+\:2.\:z\:-\:1\:+\:i\:=0\:\Rightarrow \\\\\Rightarrow i\left(a-bi\right)+2\left(a+bi\right)-1+i=0\Rightarrow \\\\\Rightarrow ai-bi^2+2a+2bi-1+i=0\Rightarrow\\\\\Rightarrow ai+b+2a+2bi-1+i=0\Rightarrow \\\\\Rightarrow 2a+b-1+ai+2bi+i=0\Rightarrow\\\\\Rightarrow 2a+b-1+i\left(a+2b+1\right)=0$

Pela igualde de números complexos, temos

• $\begin{cases}2a+b=1\Rightarrow \:b=1-2a&\\ \:a+2b=-1\Rightarrow \:a+2-4a=-1&\end{cases}$

• ∴$\begin{cases}a=1&\\ b=-1&\end{cases}$

o número complexo z, será:

• $z=1-i\begin{cases}parte\:real:a=1&\\ parte\:imaginaria:b=-1&\end{cases}$

O módulo $\rho$ e o argumento $\theta$ do número z são dados por:

• $\rho \:=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow \:\rho \:=\sqrt{\left(1\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

• $\begin{cases}cos\left(\theta \right)=\dfrac{a}{\rho }&\\ sen\left(\theta \right)=\dfrac{b}{\rho }&\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}cos\left(\theta \:\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\\ \:sen\left(\theta \:\right)=\dfrac{-1}{\sqrt{2}\:}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}&\end{cases}$

∴ θ=315°

Logo, a forma trigonométrica de z é:

$z=\sqrt{2}\left(cos\left(315\right)+i\cdot sen\left(315\right)\right)$

Saiba mais sobre números complexos:https://brainly.com.br/tarefa/22693420

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