sabe-se que os números a e b são raízes da equação x² - kx + 6 =0, onde k £IR. A equação do 2º grau que admite as raízes a + 1 e b + 1 é:
Respostas
Aqui nós utilizaremos da relações de Girard que conhecemos, nesse caso, como soma e produto. Relações que envolvem os coeficientes e as raízes de uma equação.
Vou designar por S a soma das raízes, que é dada pela razão -b/a. E designarei P como o produto das raízes.
S = a + b = -b/a
Nosso b = -k, logo -b = k.
O a = 1, então a divisão de k por 1 é o próprio k.
S = a + b = k
No entanto, supondo uma nova equação, justamente a que queremos descobrir, cujas raízes são a + 1 e b + 1, podemos utilizar dessa mesma propriedade.
S = a + b + 1 + 1 = -b/a
Sabemos que a + b = k, logo para manter a igualdade dos dois lados, teremos de adicionar 1 + 1 do outro lado da equação para mantermos a igualdade.
S = a + b + 2 = k + 2.
Agora o nosso produto:
P = a * b = c/a
O resultado de c/a = 6.
P = a * b
a * b = c/a
a * b = 6
Mas como da outra forma, precisamos adicionar 1 dos dois lados dessa equação, pois as raízes não são mais a e b, e sim (a + 1) e (b + 1).
P = (a + 1)(b + 1)
Fazendo a distributiva:
P = ab + a + b + 1
Sabemos que a * b = 6 e que a + b = k. Substituindo:
6 + k + 1 = k + 7.
Logo, o produto das raízes da nova equação dado pela razão entre c/a tem que ser igual a k + 7.
Agora utilizando da equação "reduzida" do segundo grau que segue um padrão específico:
x² + Sx + P = 0
x² - (k + 2)x + (k + 7) = 0
Essa é a nossa equação onde as novas raízes (a + 1) e (b + 1) valem.