Question

(Mackenzie) O número de soluções que a equação 4 cos2x − cos 2x + cos x = 2 admite no intervalo [

Answer 1

O número de soluções para a equação é de

$\Large\text{ \boxed{\boxed{3}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta?

Equação trigonométrica

Antes de começarmos precisamos saber a seguinte relação trigonométrica

• $Cos\left(2x\right)=2Cos^2\left(x\right)-1$

Com isso em mente vamos lá

Temos a seguinte equação trigonométrica

$\boxed{4Cos^2(x)-Cos(2x)+cos(x)=2}$ no intervalo de $[0,2\pi ]$

Queremos saber o número de soluções possíveis de X que satisfaçam o intervalo de $[0,2\pi ]$

Então vamos isolar X

$4Cos^2(x)-Cos(2x)+Cos(x)=2\\\\\\4Cos^2(x)-(2Cos^2(x)-1)+Cos(x)=2\\\\\\4Cos^2(x)-2cos^2(x)+1+Cos(x)=2\\\\\\2Cos^2(x)+Cos(x)+1=2\\\\\\2Cos^2(x)+Cos(x)+1-2=0\\\\\\\boxed{2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0}$

Agora vamos usar um método chamado método da substituição

Vamos chamar Cos(x) de U

$\boxed{Cos(x)=U}$

$2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0\\\\\\\boxed{2U^2+U-1=0}$

Agora temos uma equação quadrática para resolve-la usamos Bhaskara

$2U^2+U-1=0\\\\A=2\\B=1\\C=-1$

Vamos achar Delta

$\Delta=B^2-4\cdot A\cdot C$

$\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot -1\\\\\Delta=1+8\\\\\Delta=9$

Agora vamos achar o U

$U=\dfrac{-B\pm\sqrt{\Delta} }{2A}$

$U=\dfrac{-1\pm\sqrt{9} }{2\cdot 2}\\\\\\U=\dfrac{-1\pm3 }{4}$

$U_1=\dfrac{-1+3 }{4}\Rightarrow \dfrac{2}{4} = \boxed{\dfrac{1}{2} }$

$U_2=\dfrac{-1-3 }{4}\Rightarrow \dfrac{-4}{4} = \boxed{-1 }$

Agora lembre-se que $\boxed{Cos(x)=U}$

Então temos

$Cos(x)=\dfrac{1}{2} \\\\\\Cos(x)= -1$

Vamos descobrir o valor de X e ver se ele admite o intervalo $[0,2\pi ]$

Vamos começar com $\dfrac{1}{2}$

$Cos(x)=\dfrac{1}{2}\\\\\\x=Arccos\left(\dfrac{1}{2} \right)\\\\\\\boxed{X= 60^\circ~e~300^\circ}$

Ja temos duas soluções, agora vamos ver para $Cos(x)=-1$

$Cos(x)= -1\\\\x=Arccos(-1)\\\\\boxed{X=180^\circ }$

Ou seja Para Cos(x)= -1 temos uma solução

Juntando as soluções temos 3

$2+1=\boxed{3}$

Aprenda mais sobre equações trigonométricas aqui no Brainly

https://brainly.com.br/tarefa/53431582

#SPJ4