Question

dado um trinagulo retangulo de cateto a e hipotenusa 3a, a tangente do angulo oposto ao menor lado

Answer 1

Resposta:

A medida da tangente do ângulo oposto ao menor lado vale:

$\frac{ \sqrt{2} }{2}.$

Por favor, acompanhar a Explicação.

Explicação passo-a-passo:

Dado o triângulo retângulo, as medidas de seus lados guardam a seguinte relação, definida pelo Teorema de Pitágoras:

(Medida da Hipotenusa)² = (Medida do Cateto 1)² + (Medida do Cateto 2)²

O triângulo retângulo da Tarefa apresenta duas de suas medidas conhecidas:

• Medida da Hipotenusa = 3a.
• Medida do Cateto 1 = a.

Pela aplicação do Teorema de Pitágoras, determinaremos a Medida do Cateto 2, que chamaremos de "x":

$( {3a)}^{2} = ( {a)}^{2} + {x}^{2} \\ {9a}^{2} = {a}^{2} + {x}^{2} \\ 9 {a }^{2} - {a}^{2} = {x}^{2} \\ 8 {a}^{2} = {x}^{2} \\ \sqrt{ {8a}^{2} } = \sqrt{ {x}^{2} } \\ 2a \sqrt{2} = x \\ x = 2a \sqrt{2}$

Portanto, com a determinação do valor do Cateto 2, verifica-se que a medida do menor cateto é "a", que é o Cateto 1.

A tangente do ângulo oposto  ao menor lado será dada por esta relação:

Tangente de  = (Medida do Cateto Oposto) ÷ (Medida do Cateto Adjacente)

O Cateto Oposto é o cateto de menor lado, o Cateto 1, e o Cateto Adjacente é o Cateto 2. Então, a tangente do ângulo  será assim definida:

Tangente de  = (Medida do Cateto 1) ÷ (Medida do Cateto 2).

Designando por "y" a tangente do ângulo Â, façamos o seu cálculo:

$y = \frac{a}{2 a\sqrt{2} } \\ y = \frac{1}{ \sqrt{2 } } \\ y = \frac{1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ y = \frac{ \sqrt{2} }{ { (\sqrt{2} })^{2} } \\ y = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Assim, a medida da tangente do ângulo oposto ao cateto de menor lado vale:

$\frac{ \sqrt{2} }{2}.$