Question

Para compreender da melhor forma os Vetores no R³ é essencial compreender sua definição, estudando o ponto no espaço, ou seja, no R³, os segmentos orientados equipolentes, vetor em coordenadas, igualdade de vetores, adição de vetores, ponto médio do segmento, módulo do vetor e fechamos com produto de vetor por um escalar.

Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, ou seja, é um conjunto de segmentos orientados equipolentes.

Desta forma, um vetor determinado por um segmento orientado é o conjunto de todos os segmentos orientados no espaço que são equipolentes ao segmento orientado .



Observe a figura abaixo:





As grandezas vetoriais se fazem presentes no dia a dia das engenharias, onde trabalhos com vetores são aplicados através das grandezas como força, torque e velocidade.

Guindastes, pontes, elevadores, automóveis, dimensionamento de vigas e treliças, onde estão envolvidos carregamentos, forças, reações de apoio, as operações vetoriais são largamente utilizadas.



Leia as informações:



Desenvolva cada item a seguir utilizando as informações dadas:





b) Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos G e H, usando GH como vetor diretor.





c) O elemento T está localizado no topo do vetor e um corpo M está no topo do vetor . Considerando as coordenadas dos vetores

.

Verifique se o elemento T e o corpo M estão em vetores ortogonais. Justifique sua resposta.

Answer 1

Para encontrar uma equação para a métrica você precisa de um vetor neste r e um ponto da forma $P=(P_1,P_2,P_3)$ e para saber se dois vetores são ortogonais seu produto escalar deve ser 0:

• a) Assumindo que r sua equação paramétrica é:

$\displaystyle \begin{cases}x=2+t\\y=-3+\ 3*t\\z=7-5*t\end{cases}\ \ \ \ e \ \ \displaystyle \begin{cases}x=3+t\\y=-\ 3*t\\z=2-5*t\end{cases}$

• b) Os dois vetores a e b são ortogonais

As equações paramétricas da reta

Um sistema de equações paramétricas nos permite representar uma curva ou superfície no plano ou no espaço, por meio de valores que cobrem uma faixa de números reais, por meio de uma variável, chamada de parâmetro, considerando cada coordenada de um ponto como uma função dependente do parâmetro.

Para determinar as equações paramétricas de qualquer reta, basta o seu vetor diretor e um ponto que pertença à reta.

Se V é o vetor de direção da linha e P um ponto que pertence à linha:

                        $\vec{V}=(V_1,V_2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P(P_1,P_2)$

A fórmula das equações paramétricas da reta são:

                                         $\displaystyle \begin{cases}x=P_{1} +t*v_{1}\\y=P_{2} +\ t*v_{2}\end{cases}$

Onde:

• x e y são as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da linha.
• P1 e P2 são as coordenadas de um ponto conhecido que faz parte da linha.
• V1 e V2 são os componentes do vetor de direção da linha.
• t é um escalar (um número real) cujo valor depende de cada ponto da reta.

Estas são as equações paramétricas da reta no plano, ou seja, quando trabalhamos com pontos e vetores de 2 coordenadas (em R2). No entanto, se estivéssemos fazendo cálculos no espaço (em R3), teríamos que adicionar mais uma equação para o terceiro componente Z:

                                            $\displaystyle \begin{cases}x=P_{1} +t*v_{1}\\y=P_{2} +\ t*v_{2}\\z=P_{3} +t*v_{3}\end{cases}$

Por outro lado, dois vetores são ortonormais se:

1. Seu produto escalar é zero. $\vec{a}*\vec{b}=(a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z)=0$
2. Os dois vetores são unitários.

Resolvendo

Para este exercício, o vetor r não é dado, portanto, deve ser calculado. Para isso, considera-se o seguinte:

Dados os pontos $G=(Gx, Gy, Gz)$ e $H=(Hx, Hy, Hz)$, o vetor $\vec{GH}$, com origem em G e ponto final em H, pode ser obtido da seguinte forma:

                                               $\vec{OG}+\vec{GH}=\vec{OH}$

                            $\vec{GH}=\vec{OH}-\vec{OG}=(Hx, Hy, Hz)-(Gx, Gy, Gz)\\\vec{GH}=(Hx-Gx, Hy-Gy, Hz-Gz)$

                              $\vec{r}=\vec{GH}=(3-2,0-(-3),2-7)=(1, 3,-5)$

• a) Equações paramétricas para o vetor $\vec{r}=\vec{GH}$ e os pontos G e H

Para o ponto G:

                               $\displaystyle \begin{cases}x=2+t\\y=-3+\ 3*t\\z=7-5*t\end{cases}$

Para o ponto H:

                                 $\displaystyle \begin{cases}x=3+t\\y=-\ 3*t\\z=2-5*t\end{cases}$  

• b) Os vetores a e b são ortogonais?

                       $\vec{a}*\vec{b}=(3*5+4*0+(-5*3))=15-15=0$

Se você quiser ler mais sobre a equação paramétrica de uma linha, você pode ver este link:

https://brainly.com.br/tarefa/52755294

#SPJ1