Question

Dada a seguinte função no domínio complexo EM ANEXO:

Answer 1

Queremos encontrar a transformada de Laplace inversa da seguinte função de domínio complexo "s":

$\boxed{\large\sf F(s)=\dfrac{(s+2)(s+3)}{(s+1)(s+4)(s+5)}\quad ou\quad F(s)=\dfrac{s^2+5s +6}{(s+1)(s+4)(s+5)}}\\\\\sf Observe ~que~ o~ denominador~ é~ igual~ ao ~ produto ~de~ \\ \sf tr\hat{e}s~ fatores~ lineares ~diferentes. ~Os ~polos~ são:\\ \sf p_1=-1\quad p_2=-4 \quad p_3=-5$

Ao resolver equações diferenciais usando a transformada de Laplace, precisamos ser capazes de calcular a transformada de Laplace inversa. Para isso podemos recorrer ao uso da fórmula, mas na maioria dos casos seu uso requer a execução de cálculos trabalhosos e complexos. Devido ao alto nível de complexidade, são utilizadas tabelas de transformadas de Laplace para encontrar as transformadas inversas.

Normalmente, quando calculamos uma transformada de Laplace, começamos com uma função no domínio do tempo f(t), e terminamos com uma função no domínio da frequência F(s).

Obviamente, uma transformada de Laplace inversa é o processo oposto, no qual partindo de uma função no domínio da frequência F(s) obtemos sua função correspondente no domínio do tempo f(t)

Observe que usando as tabelas de transformadas de Laplace não encontramos nada semelhante à nossa função de domínio complexa F(s), então o que vamos fazer é aplicar algum método que nos permita encontrar a transformada inversa de Laplace de uma maneira mais simples, nós aplicará a decomposição em frações parciais.

A decomposição em frações parciais consiste em dividir um quociente de polinômios em uma soma de frações, já irredutíveis, cujos polinômios do numerador e denominador são de menor grau que a fração inicial. A decomposição em frações parciais de nossa função de domínio complexo "s" deve ser da forma:

$\sf\dfrac{s^2+5s +6}{(s+1)(s+4)(s+5)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+4}+\dfrac{C}{s+5}\qquad\bf(i)$

Onde A, B e C são constantes que devemos determinar seu valor para poder decompor em frações parciais, mas para calcular o valor dessas constantes podemos modificar os valores de s como quisermos, mas recomendo substituir o valor de s para os pólos do denominador. Mas antes de substituir o valor dos polos da nossa função, o que devemos fazer é multiplicar a expressão (i) pelo denominador da expressão do lado esquerdo, realizando essa multiplicação obtemos a seguinte equação:

$\sf\dfrac{\left(s^2+5s +6\right)\cdot (s+1)(s+4)(s+5)}{(s+1)(s+4)(s+5)}=\dfrac{A\cdot (s+1)(s+4)(s+5)}{s+1}+\dfrac{B\cdot (s+1)(s+4)(s+5)}{s+4}+\dfrac{C\cdot (s+1)(s+4)(s+5)}{s+5} \\\\ \sf s^2+5s+6=A\cdot (s+4)(s+5)+B\cdot (s+1)(s+5)+C\cdot (s+1)(s+4)\qquad \bf(ii)$

De acordo com a expressão (ii) será possível calcular o valor das nossas três constantes para isso vamos substituir o valor de s pelos pólos da nossa função mas por questões de espaço mostro diretamente os resultados das constantes.

$\boxed{\sf A=\dfrac{1}{6}}\boxed{\sf B=-\dfrac{2}{3}}\boxed{\sf C=\dfrac{3}{4}}$

Substituindo o valor de todas as nossas constantes, podemos ver que nossa função de domínio complexa pode ser escrita desta outra maneira:

$\sf F(s)=\dfrac{\frac{1}{6}}{s+1}+\dfrac{-\frac{2}{3}}{s+4}+\dfrac{\frac{3}{4}}{s+5}\\\\ \sf F(s)=\dfrac{1}{6(s+1)}-\dfrac{2}{3(s+4)}+\dfrac{3}{4(s+5)}$

A transformada inversa de Laplace da função de domínio complexa acima será dada pela transformada inversa de Laplace das frações que obtivemos decompondo a função original em frações parciais. Olhando em uma tabela de transformada de Laplace podemos ver uma transformada muito interessante e é:

$\sf \mathcal{L}\left\{e^{-at}\right\}=\dfrac{1}{s+a}\\\\ \sf Observando~ este ~resultado ~de~ forma ~inversa, ~obtemos~ que :\\\\ \sf \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}$

Com a ajuda desta expressão podemos ver que a transformada de Laplace inversa da nossa função original é igual a:

$\sf \mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{6(s+1)}\right\}-\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2}{3(s+4)}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{3}{4(s+5)} \right \}\\\\\ \sf \mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}=\dfrac{1}{6}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+1)}\right\}-\dfrac{2}{3}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+4)}\right\}+\dfrac{3}{4}\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+5)} \right\}\\\\ \boxed{\sf f(t)=\dfrac{1}{6}e^{-t}-\dfrac{2}{3}e^{-4t}+\dfrac{3}{4}e^{-5t}}$