Question

determine a derivada da função inversa f(x) = 3x³ - 2x² + x no ponto (1, 2)

Answer 1

A solução para a derivada da função inversa é 1/6.

Para entender melhor o caminho para chegar no resultado, vamos falar sobre a derivada da função inversa.

Como calcular a derivada da função inversa?

Para efetuarmos esse cálculo, devemos partir que f(x) seja inversível (logo deve ser uma função bijetora). Sabemos a função inversa de f(x) é f(y), logo:  $f^{-1} (x)=f(y)$. Por essa razão que substituímos os x por y e vice e versa.

Para determinar a derivada da função inversa de x, bastaria derivar f(y). Porém, há funções que são complicadas e por isso há o Teorema da Função Inversa que diz que a derivada da função inversa é o inverso da derivada da função. Em outras palavras, temos:

$y = f(x)\\x=f(y)=f^{-1}(x)\\\\y'=\frac{d[f(x)]}{dx} \\\\x'=\frac{d[f(y)]}{dy}\\\\\Rightarrow x'=\frac{1}{y'}$

Usando o Teorema da Função Inversa temos:

f(x) = y = 3x³ - 2x² + x
y' = 9x² - 4x + 1

Usando o ponto (1, 2) em y' ao fazer x = 1, temos y' = 9 - 4 + 1 = 6. De acordo com o teorema, x' = 1 / y' = 1/6.

Saiba mais sobre função inversa aqui: https://brainly.com.br/tarefa/2599943

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