Question

Lista de exercícios V sobre limite de funções
David Zavaleta Villanueva UFRN

Calcule o seguinte limite trigonométrico

4)

$\large\lim_{x\to3}\left(\dfrac{Sen(x)-Sen(3)}{x-3}\right)$

Answer 1

Utilizando a diferença entre senos e o limite fundamental da trigonometria, podemos concluir que quando X tende a 3 a função tende para

$\large\text{ \boxed{\boxed{Cos(3)}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte limite

$\large\lim _{x\to 3}\left(\frac{Sen \left(x\right)-Sen \left(3\right)}{x-3}\right)$

Perceba que quando Substituirmos X por 3 o limite tende a uma indeterminação

$\large\lim _{x\to 3}\left(\frac{Sen \left(x\right)-Sen \left(3\right)}{x-3}\right)\Rightarrow \frac{Sen(3)-Sen(3)}{3-3}\Rightarrow \dfrac{0}{0} ?$

Então temos que usar alguma propriedade para fazer essa função não tender a uma indeterminação

Perceba que no numerador temos a diferença entre dois  senos que é uma propriedade conhecida

$\arge\text{ \boxed{Sen(a)-Sen(b)=2\cdot Cos\left(\frac{a+b}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{A-B}{2} \right)} }$

Então vamos Reescrever no limite

$\large\text{ \lim _{x\to 3}\left(\frac{Sen \left(x\right)-Sen \left(3\right)}{x-3}\right)\Rightarrow \lim _{x\to 3}\left(\frac{2\cdot Cos\left(\frac{x+3}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3}\right)\Rightarrow }$

Agora podemos colocar as constantes para fora e reescrever essa expressão como sendo dois limites

$\large\text{ \lim _{x\to 3}\left(\frac{2\cdot Cos\left(\frac{x+3}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3}\right)\Rightarrow 2\cdot\lim _{x\to 3}\left(\frac{Cos\left(\frac{x+3}{2} \right)\cdot Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3}\right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot\lim _{x\to 3}\left(\frac{Cos\left(\frac{x+3}{2} \right)}{1}\right)\cdot\lim_{x\to3}\left(\frac{Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3} \right) }$

Perceba que o primeiro limite que tem cosseno não gera uma indeterminação então podemos substituir X por 3 Nele

$\large\text{ 2\cdot\lim _{x\to 3}\left(\frac{Cos\left(\frac{x+3}{2} \right)}{1}\right)\cdot\lim_{x\to3}\left(\frac{Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot\lim _{x\to 3}\left(\frac{Cos\left(\frac{3+3}{2} \right)}{1}\right)\cdot\lim_{x\to3}\left(\frac{Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot Cos(3) \cdot\lim_{x\to3}\left(\frac{Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3} \right)\Rightarrow }$

Agora vamos achar o outro limite pelo limite fundamental da trigonometria

$\lim_{x\to0}\dfrac{Sen(x)}{x}=1$

Então vamos lá:

$\large\text{ 2\cdot Cos(3) \cdot\lim_{x\to3}\left(\frac{Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3} \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot Cos(3) \cdot\lim_{x\to3}\left(\frac{Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{x-3} \cdot \dfrac{\frac{1}{2} }{\frac{1}{2} } \right)\Rightarrow }$

$\large\text{ 2\cdot Cos(3) \cdot\lim_{x\to3}\left(\frac{\frac{1}{2}\cdot Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{\frac{x-3}{2} } \right)\Rightarrow }\\\\\\\large\text{ 2\cdot Cos(3) \cdot \dfrac{1}{2} \lim_{x\to3}\left(\frac{Sen\left(\frac{x-3}{2} \right)}{\frac{x-3}{2} } \right)\Rightarrow }$

$\large2\cdot Cos(3) \cdot \dfrac{1}{2}\cdot 1\Rightarrow \boxed{Cos(3)}$

Ou seja quando X tende a 3 a função tenderá para o $Cos(3)$

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