Considere os intervalos: A = [ − 1 , 4 ) , B = [ 1 , 5 ] , C = [ 2 , 5 ) e D = ( − ∞ , 3 ] O intervalo E = [ − 1 , 2 ) é o resultado de qual operação? A) ( D − C ) ∩ ( A ∪ B ) B) ( D − C ) ∪ ( A ∩ B ) C) ( D ∪ C ) − ( A ∩ B ) D) ( D ∩ C ) ∪ ( A − B ) E) ( D ∪ C ) ∩ ( A − B )
Respostas
O intervalo E = [ − 1 , 2 ) é o resultado da operação de conjuntos A): (D − C) ∩ (A ∪ B)
Operações de Conjuntos
Temos algumas operações de conjuntos como:
- União (∪): A união entre dois conjuntos é o conjunto com todos os elementos de ambos os conjuntos.
- Intersecção (∩): A intersecção de dois conjuntos é o conjunto com todos os elementos que estão, ao mesmo tempo, em ambos os conjuntos.
- Diferença (-): A diferença de dois conjuntos é o conjunto com todos os elementos do primeiro conjunto, exceto os que pertencem também ao segundo conjunto.
Assim, resolvemos as operações da seguinte maneira:
a) (D − C) ∩ (A ∪ B)
D - C são todos os números, de menos infinito até 2 (exclusive), já que os números de 2 a 3 serão retirados pela operação de diferença.
D - C = (-∞ , 2)
A ∪ B são os elementos de -1 (inclusive) a 5 (inclusive)
A ∪ B = [-1, 5]
Ao fazer a intersecção dos dois conjuntos, ficamos com os elementos de -1 (inclusive) a 2 (exclusive):
(D − C) ∩ (A ∪ B) = [-1, 2)
B) (D − C) ∪ (A ∩ B)
(D - C) já está definida no item anterior. (A ∩ B) são os números entre 1 (inclusive) e 4 (exclusive).
A ∩ B = [1, 4)
A união entre esses conjuntos são os números entre menos infinito e 4 (exclusive). Assim, ficamos com:
(D − C) ∪ (A ∩ B) = (-∞ ,4)
C) (D ∪ C) − (A ∩ B)
A união entre C e D nos dá os números de menos infinito até 5 (exclusive)
D ∪ C = (-∞, 5)
A intersecção entre A e B está no item anterior. Assim a diferença entre os conjuntos é A união entre o conjunto que vai de menos infinito até 1 (exclusive) e o conjunto que vai de 4 (inclusive) até 5 (exclusive).
(D ∪ C) − (A ∩ B) = (-∞, 1) ∪ [4, 5)
D) (D ∩ C) ∪ (A − B)
A intersecção entre D e C é o conjunto entre 2 (inclusive) e 3 (inclusive)
D ∩ C = [2, 3]
A diferença entre A e B é o conjunto entre -1 (inclusive) e 1 (exclusive)
A - B = [-1, 1)
Como os conjuntos são disjuntos (não possuem intersecção, representamos a união com o símbolo de união mesmo:
(D ∩ C) ∪ (A − B) = [-1, 1) ∪ [2, 3]
E) (D ∪ C) ∩ (A − B)
(D ∪ C) está representado no item C e (A - B) no item anterior. A intersecção entre esses conjuntos, uma vez que A - B está contido no conjunto D ∪ C, é o próprio conjunto A - B:
(D ∪ C) ∩ (A − B) = [-1, 1)
O conjunto E é a resposta do item A.
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