Question

Demonstre, por redução ao absurdo, os teoremas a seguir, destacando a hipótese e a tese.a) Existem infinitos números primos.b) O vazio é subconjunto de qualquer conjunto.c) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.d) Zero não divide nenhum número real não nulo.e) O elemento neutro da adição é único.f) O elemento neutro da multiplicação é único.

Answer 1

Prova por contradição, ou redução ao absurdo, é quando tentamos provar que algo é falso quando já temos uma ideia de que seja verdadeiro.

a) Vamos tentar provar que não existem infinitos primos. Seja P o conjunto de todos os números primos, e q um número fora desse conjunto tal que q = (produto de todos os elementos de P) + 1.

Como q não é primo, deve existir um primo r que divide q. Mas r não dividirá q, pois $\frac{q}{r} = \frac{P}{r} + \frac{1}{x}$. A divisão não é exata, pois apesar de a parcela P/r ser inteira, não existe primo que divida 1. Então, chegamos a um absurdo: q é primo.

b) Um conjunto P é subconjunto de Q quando todos os elementos de P pertencem a Q. Seja um conjunto A, tal que o vazio não seja um de seus subconjuntos. Isso significa dizer que existe um elemento no vazio que não pertence a A. Absurdo, já que o conjunto vazio é vazio.

c) Vamos tentar provar que existe um conjunto A que não é subconjunto de si mesmo. Isso quer dizer que existe um elemento em A que não pertence a A. Absurdo.

d) Vamos supor que existe um número a, não nulo, tal que na divisão por zero deixe quociente b. Então podemos escrever:
$N = Q \cdot D + R$ *N = dividendo, Q = quociente, D = divisor, R = resto
$a = 0 \cdot b$

Supomos a não nulo, e chegamos a a=0. Absurdo.

e) a + b = a; a, b ≠ 0.
Subtraindo A de ambos os lados: b = 0.
Absurdo.

f) a x b = 0; a, b ≠ 0.
Dividindo os dois lados por a: b = 0.
Absurdo.