Question

Sejam u = (1;-1; 2), v = (2; 4; 1) e w = (-1; 2; 3). Mostre que:

(a) t = (-5;-5; 6) é combinação linear de u, v e w.
(b) Qualquer vetor t = (x; y; z) é combinação linear de u, v e w.

Answer 1

Olá!
 
a)
    É preciso mostrar que existem escalares $\alpha, \beta, \gamma$  tais que  $t=\alpha u+\beta v+\gamma w$  . Temos:

$(-5, -5, 6)= \alpha (1, -1, 2)+ \beta (2, 4, 1) + \gamma (-1, 2, 3) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\alpha +2\beta - \gamma = -5 \\ -\alpha +4\beta + 2\gamma=-5 \\ 2\alpha +\beta +3\gamma = 6\\ \\ \Leftrightarrow$
$\alpha +2\beta -\gamma=-5 \\ 6\beta + \gamma = -10 \\-3\beta +5\gamma = 16 \\ \\ \Leftrightarrow \\ \\ \alpha +2\beta - \gamma = -5 \\ -3\beta + 5\gamma = 16 \\ 11\gamma = 22$

Da última equação, tiramos que $\gamma=2$  . Substituindo na segunda, temos

$-3\beta +5\cdot 2=16 \Rightarrow -3\beta=6 \Rightarrow \beta=-2$

Substituindo esses valores na primeira equação, vem que

$\alpha + 2\cdot (-2)-2=-5 \Rightarrow \alpha = 1$

Portanto, existem $\alpha=1,\;\;\;\beta=-2,\;\;\;\gamma=2$   tais que 
$(-5,-5,6)=1\cdot(1,-1,2)-2\cdot(2,4,1)+2\cdot(-1,2,3)$

Ou seja, $t=\alpha\cdot u+\beta\cdot v+\gamma\cdot w$  , isto é, t é uma combinação linear de u, v e w.

b)
    Vamos mostrar que o conjunto $\{u,v,w\}$   é uma base do espaço. Ou seja, tal conjunto é LI. Se isto ocorrer, quaisquer vetores do espaço podem ser escritos como combinação linear dos vetores deste conjunto. Temos:

$\alpha+2\beta-\gamma=0 \\ -\alpha+4\beta+2\gamma=0\\ 2\alpha+\beta+3\gamma=0 \\ \Leftrightarrow \\ \alpha+2\beta-\gamma=0 \\ -3\beta+5\gamma=0 \\ 11\gamma=0 \\ \Leftrightarrow \\ \gamma=0 \Rightarrow -3\beta=0 \Rightarrow \beta=0 \Rightarrow \\ \Rightarrow \alpha = 0$

Chegamos, então, que a combinação linear nula dos três vetores só é possível quando todos os três escalares são nulos, isto é, o conjunto formado por esses três vetores é LI e, consequentemente, uma base do espaço.

Portanto, qualquer vetor $t=(x,y,z)$   é combinação linear de u, v e w.



Bons estudos!