Question

O grafico de f(x) é mostrado na figura :
imagem anexada

A $\int\limits^6_0 f(x) dx$

gabarito é $\frac{33}{2}$

cálculos quero saber.

Answer 1

Olá Cabral!

Vamos determinar a reta presente no intervalo de [0,1]

E a reta presente no intervalo de 1 a 6:
-------------------------------------------------

R₁ :  tem ponto (1,2) e (0,1)

y = ax + b

mas, como podemos ver... b = 1

Então,

y = ax + 1

Agora substitua P(1,2)

2 = 1a + 1

2 - 1 = a

a = 1

Logo, nossa R₁ vale:

y = x+1
--------------------------------------------

Agora vamos determinar R₂

R₂ : Tem os pontos (6, 4) e ( 1, 2)

Nesse caso b ≠ 1

y = ax + 1

Montaremos o sistema:

Para  P (6,4)

4 = 6a + b

Para P (1,2)

2 = a + b
-----------------------------------

Multiplicando a primeira por -1 e semondo ambas:

-4 + 2 = -6a+a - b+b

-2 = - 5a

2 = 5a

a = 2/5

Substituindo a = 2/5 em qualquer eq:

2 =  a+ b

2 = 2/5 + b    ⇔ ×5

10 = 2 + 5b

8 = 5b

b = 8/5
----------------------------------

y = (2/5)x + 8/5

Aplicando integral definida:


$\\ A = \int\limits^1_0 {x+1} \, dx + \int\limits^6_1 { \frac{2x}{5}+ \frac{8}{5} } \, dx \\ \\ A = \frac{x^2}{2}+x|(0,1) + \frac{2x^2}{10} + \frac{8x}{5} |(1,6) \\ \\ A = (\frac{1^2}{2} +1-0)+ (\frac{2(6)^2}{10} + \frac{8(6)}{5} -\frac{2(1)^2}{10}- \frac{8(1)}{5}) \\ \\ A = \frac{3}{2} +( \frac{72}{10} + \frac{48}{5} - \frac{2}{10} - \frac{8}{5} ) \\ \\ A = \frac{3}{2} + \frac{70}{10} + \frac{40}{5} \\ \\ A = \frac{3}{2}+7+8 \\ \\ A = \frac{3}{2}+15$

$\\ A = \frac{3+15}{2} \\ \\ A = \frac{33}{2} u.a$

u.a ⇔ Unidade de ÁREA

Answer 2

Oi Cabral 

para calcular área sobre a função de 1 a 6 
basta fazer a soma das áreas de dois trapézios.

T1

B = 2, b = 1, a = 1

área

A1 = (B + b)*a/2 = (2 + 1)*1/2 = 3/2

T2

B = 4, b = 2, a = 5

área

A2 = (B + b)*a/2 = (4 + 2)*5/2 = 15 

área pedida

A = A1 + A2 = 3/2 + 30/2 = 33/2